Теорема Левицького

Оскільки кільце R є нетеровим справа, то R містить максимальний (двосторонній) нільпотентний ідеал N. Достатньо довести, що ${\displaystyle A\subset N.}$ Припустимо, що це не так. Розглядаючи фактор-кільце R/N отримаємо тоді нетерове справа кільце, що не має ненульових (двосторонніх) нільпотентних ідеалів але містить односторонній ненульовий ніль-ідеал. Для доведення теореми достатньо показати, що це неможливо. Без втрати загальності можна вважати, що кільце R і ніль-ідеал A задовольняють вказані умови.

Якщо ${\displaystyle 0\neq a\in A,}$ то U = Ra є ненульовим лівим ніль-ідеалоом в R. Цей ідеал є ненульовим оскільки в іншому випадку двосторонній ідеал I породжений a (тобто, у цьому випадку, ідеал I = aR + Za) буде ненульовим (містить a) нільпотентним ідеалом (I² = 0). Якщо A — лівий ідеал, то ${\displaystyle U\subseteq A}$ і з того, що A є лівим ніль-ідеалом, випливає ця ж властивість і для U. Якщо A — правий ідеал, то для будь-якого елемента ${\displaystyle u=xa\in U}$ маємо ${\displaystyle u^{n}=x(ax)^{n-1}a.}$ Оскільки ${\displaystyle ax\in A,}$ то для досить великого n звідси випливає, що ${\displaystyle u^{n}=0.}$

Для будь-якого ${\displaystyle u\in U}$ позначимо ${\displaystyle r(u)=\{x\in R|ux=0\}.}$ Тоді r(u) є ненульовим правим ідеалом в R. З того, що R є нетеровим справа випливає існування елемента ${\displaystyle u_{0}\neq 0,}$ для якого правий ідеал ${\displaystyle r(u_{0})}$ буде максимальним серед ідеалів такого виду. Для будь-якого ${\displaystyle x\in R}$ виконується включення ${\displaystyle r(xu_{0})\supseteq r(u_{0}).}$ Отже, якщо ${\displaystyle xu_{0}\neq 0,}$ то, з огляду на те, що ${\displaystyle xu_{0}\in U,}$ із максимальності ${\displaystyle r(xu_{0}),}$ випливає рівність ${\displaystyle r(xu_{0})=r(u_{0}).}$

Нехай ${\displaystyle y\in R,\ yu_{0}\neq 0.}$ Тоді існує таке k > 1, що ${\displaystyle (yu_{0})^{k}=0,\ (yu_{0})^{k-1}\neq 0.}$ Оскільки елемент ${\displaystyle (yu_{0})^{k-1}}$ можна записати у виді ${\displaystyle xu_{0}}$, то ${\displaystyle r((yu_{0})^{k-1})=r(u_{0}).}$ Але ${\displaystyle yu_{0}}$ належить ${\displaystyle r((yu_{0})^{k-1}),}$ отже, ${\displaystyle yu_{0}\in r(u_{0}),}$ тобто ${\displaystyle u_{0}yu_{0}=0.}$ Остання рівність виконується також і у випадку ${\displaystyle yu_{0}=0,}$ тобто загалом для всіх ${\displaystyle y\in R.}$ Звідси випливає, що ${\displaystyle Ru_{0}R}$ є нільпотентним ідеалом кільця R. Оскільки R — кільце без ненульових нільпотентних ідеалів, то звідси зокрема ${\displaystyle u_{0}R=(0).}$ Але тоді множина ${\displaystyle \{t\in R|tR=(0)\}}$ є ненульовим нільпотентним ідеалом (що містить ${\displaystyle u_{0}}$). Ці протиріччя завершують доведення теореми.

• Кільце Нетер
• Ніль-ідеал
• Нільпотентний ідеал

• Herstein, I.N. (1968). Noncommutative rings (вид. 1st). The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-015-X.