Фактор-кільце

Нехай ${\displaystyle R}$ — кільце, а ${\displaystyle I}$ — деякий його (двосторонній) ідеал. На ${\displaystyle R}$ можна задати відношення еквівалентності ${\displaystyle \sim }$:

${\displaystyle a\sim b}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle b-a\in I}$.

Оскільки за означенням ідеал є підгрупою адитивної групи кільця:

• Тоді ${\displaystyle a-a=0\in I}$ тобто ${\displaystyle a\sim a}$.
• Якщо ${\displaystyle b-a\in I}$ то також ${\displaystyle a-b=-(b-a)\in I}$, тобто з ${\displaystyle a\sim b}$ випливає ${\displaystyle b\sim a}$.
• Якщо ${\displaystyle b-a\in I}$ та ${\displaystyle c-b\in I}$ то також ${\displaystyle c-a=(c-b)+(b-a)\in I}$, тобто з ${\displaystyle a\sim b}$ та ${\displaystyle b\sim c}$ випливає ${\displaystyle a\sim c}$.

Отже відношення ${\displaystyle a\sim b}$ є рефлексивним, симетричним і транзитивним, отже є відношенням еквівалентності.

Нехай

${\displaystyle [a]=a+I=\{a+r:r\in I\}}$

позначає клас еквівалентності елемента ${\displaystyle a}$. Множина класів еквівалентності введеного відношення позначається ${\displaystyle R/I}$.

На даній множині можна ввести операції додавання і множення:

${\displaystyle [a]+[b]=(a+I)+(b+I)=(a+b)+I=[a+b]}$

${\displaystyle [a]\cdot [b]=(a+I)\cdot (b+I)=a\cdot b+I=[a\cdot b]}$

Дані визначення є несуперечливими, тобто не залежать від вибору представників класу. Дійсно нехай ${\displaystyle a+I=a_{1}+I}$ та ${\displaystyle b+I=b_{1}+I}$. Тоді ${\displaystyle a-a_{1}=i\in I}$ та ${\displaystyle b-b_{1}=j\in I}$. Звідси ${\displaystyle a+b=a_{1}+b_{1}+i+j}$ та ${\displaystyle ab=(a_{1}+i)(b_{1}+j)=a_{1}b_{1}+ib_{1}+a_{1}j+ij}$. Оскільки ${\displaystyle i+j,ib_{1},a_{1}j,ij\in I}$ одержується ${\displaystyle a+b+I=a_{1}+b_{1}+i+j+I}$ та ${\displaystyle ab+I=a_{1}b_{1}+I}$, що доводить несуперечливість визначення.

Множина визначених класів еквівалентності з визначеними операціями множення і додавання називається фактор-кільцем кільця ${\displaystyle R}$ за ідеалом ${\displaystyle I}$.

• Найпростіші приклади фактор-кілець одержуються за допомогою ідеалів ${\displaystyle \{0\}}$ і самого кільця ${\displaystyle R}$. ${\displaystyle R/\{0\}}$ є ізоморфним до ${\displaystyle R}$, а ${\displaystyle R/R}$ є тривіальним кільцем ${\displaystyle \{0\}}$.

• Нехай ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — кільце цілих чисел, а ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$— кільце парних чисел. Тоді фактор-кільце ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ має лише два елементи, що відповідають множинам парних і непарних чисел. Дане фактор-кільце є ізоморфним полю з двома елементами, ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$. Більш загально можна розглянути фактор-кільце ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$, що є ізоморфним кільцю лишків за модулем ${\displaystyle n}$.

• Нехай ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$ кільце многочленів від змінної ${\displaystyle X}$ з дійсними коефіцієнтами, і ідеал ${\displaystyle I=(X^{2}+1)}$ складається з усіх добутків многочлена ${\displaystyle X^{2}+1}$ на інші многочлени. Фактор-кільце ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(X^{2}+1)}$ є ізоморфним полю комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , і клас еквівалентності ${\displaystyle [X]}$ відповідає уявній одиниці ${\displaystyle i}$.

• Узагальнюючи попередній приклад, фактор-кільце можна використати для побудови розширення поля. Нехай ${\displaystyle K}$ — деяке поле і ${\displaystyle f}$ незвідний многочлен в ${\displaystyle K[X]}$.Тоді ${\displaystyle L=K[X]/(f)}$ є полем, що містить ${\displaystyle K}$.

• Якщо ${\displaystyle R}$ — комутативне кільце то кільце ${\displaystyle R/I}$ теж є комутативним. Обернене твердження невірне.
• Теорема про гомоморфізм кілець:

Якщо ${\displaystyle f}$ — епіморфізм (сюр'єктивний гомоморфізм) кільця ${\displaystyle \mathrm {K} }$ на кільце ${\displaystyle \mathrm {R} }$, то ядро ${\displaystyle \ker \,f}$ є ідеалом кільця ${\displaystyle \mathrm {K} }$, причому кільце ${\displaystyle \mathrm {R} }$ ізоморфне фактор-кільцю ${\displaystyle \mathrm {K} /\ker \,f}$.

Навпаки: якщо ${\displaystyle \mathrm {J} }$ — ідеал кільця ${\displaystyle \mathrm {K} }$, то відображення ${\displaystyle f:\mathrm {K} \to \mathrm {K/J} }$, визначене умовою ${\displaystyle f(a)=a+\mathrm {J} ,\forall a\in \mathrm {K} }$ є гомоморфізмом кільця ${\displaystyle \mathrm {J} }$ на ${\displaystyle \mathrm {K/J} }$ з ядром ${\displaystyle \mathrm {J} }$.

• Ідеал ${\displaystyle \mathrm {J} }$ кільця ${\displaystyle \mathrm {K} }$ є простим (максимальним) в тому і лише у тому випадку, коли фактор-кільце ${\displaystyle \mathrm {K/J} }$ є областю цілісності(полем).
• Між ідеалами кілець ${\displaystyle \mathrm {R} }$ і ${\displaystyle \ R/I}$ існує тісний зв'язок. А саме ідеали ${\displaystyle \ R/I}$ знаходяться у взаємно однозначній відповідності із ідеалами кільця ${\displaystyle \mathrm {R} }$, що містять ідеал ${\displaystyle \ I}$ як підмножину. Якщо ${\displaystyle \ I\subset J}$ такий ідеал кільця ${\displaystyle \mathrm {R} }$ йому ставиться у відповідність ідеал ${\displaystyle \ J/I}$ кільця ${\displaystyle \ R/I}$. До того ж фактор-кільця ${\displaystyle \ R/J}$ і ${\displaystyle \ (R/I)/(J/I)}$ є ізоморфними через природний гомоморфізм ${\displaystyle h:\ R/J\to (R/I)/(J/I)}$, для якого ${\displaystyle h(a+J)=(a+I)+J/I.}$

• Фактор-множина
• Фактор-група
• Фактор-простір

• Фактор-кільце на сайті PlanetMath.

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
• Бондаренко Є.В. (2012). Теорiя кiлець: навчальний посiбник.. Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)