Теорема Ляйбніца (геометрія)

Теорема або формула Ляйбніца - твердження про медіани:

Медіани трикутника $ABC$ перетинаються в точці $M$ . Для довільної точки $O$ площини виконується рівність

AO^{2}+BO^{2}+CO^{2}=3OM^{2}+AM^{2}+BM^{2}+CM^{2}.

З теореми Ляйбніца випливає, що серед усіх точок площини точка перетину медіан є точкою, для якої сума квадратів відстаней до вершин трикутника має найменше значення.

Аналогічне твердження справедливе для тетраедра: сума квадратів відстаней від точки до вершин тетраедра мінімальна для його центроїда[1] — характеристична властивість центроїда.

Також, з цієї теореми випливає формула для медіани тетраедра[2].

Примітки

Свойства центроида тетраэдра, теорема Лейбница
Формула Лейбница. Архів оригіналу за 20 січня 2009. Процитовано 12 серпня 2009.

Література

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-е изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004. стр.67.
В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488с. стр.344-345.
Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 42. — ISBN 5-94057-170-0.
Ловушка для треугольника. В.Дубровский, В.Сендеров (розглядаються узагальнення).
Мадер В. В. Полифония доказательств. Учеб.пособие. М.: Мнемозина, 2009. 344 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Свойства центроида тетраэдра, теорема Лейбница

[2] Формула Лейбница. Архів оригіналу за 20 січня 2009. Процитовано 12 серпня 2009.