Центроїд трикутника

• Центроїд ділить кожну медіану у відношенні 2:1, починаючи від вершини.
• Центроїд лежить на відрізку, що з'єднує ортоцентр і центр описаного кола, і ділить його у відношенні 2:1 (див. лінія Ейлера).
• Якщо у вершинах трикутника помістити рівні маси, то центр мас (барицентр) отриманої системи буде збігатися з центроїдом. Більш того, центр мас трикутника з рівномірно розподіленою масою також міститься у центроїді.
• Якщо ${\displaystyle M}$ — центроїд трикутника ${\displaystyle ABC}$ то для будь-якої точки ${\displaystyle O}$ справджується рівність

  ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}={\frac {1}{3}}({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}})}$ .

• Центроїд є точкою, для якої сума квадратів відстаней до вершин трикутника набуває найменшого значення (теорема Лейбніца).
• Три відрізки прямих, що з'єднують вершини трикутника з центроїдом, розбивають цей трикутник на три рівновеликих трикутники (з рівними площами).
• Три відрізки прямих, що з'єднують середини сторін трикутника з центроїдом, розбивають цей трикутник на три рівновеликих чотирикутники (з рівними площами).
• При ізогональному сполученні центроїд переходить у точку Лемуана (в точку перетину трьох симедіан трикутника).
• Побудуємо дві прямі, кожна з яких проходить через точку Аполлонія і точку Торрічеллі, що не збігається з ізогонально спряженою їй. Такі прямі перетнуться в центроїді трикутника.
• Нехай ${\displaystyle ABC}$ — трикутник на площині. Коло, що проходить через центроїд і дві точки Аполлонія трикутника ${\displaystyle ABC}$, називається колом Паррі трикутника ${\displaystyle ABC}$ .
• Три чевіани, проведені через довільну точку ${\displaystyle O}$ всередині трикутника, ділять своїми кінцями сторони трикутника на шість відрізків. Добуток довжин трьох із шести відрізків, які не мають спільних кінців, максимальний, якщо точка ${\displaystyle O}$ збігається з центроїдом[2].
• Сума квадратів сторін трикутника дорівнює потроєній сумі квадратів відстаней від центроїда до вершин:

${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2})}$ .[3]

• Нехай ${\displaystyle q_{a}}$, ${\displaystyle q_{b}}$ і ${\displaystyle q_{c}}$ — відстані від центроїда до сторін з довжинами, які відповідно дорівнюють ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ і ${\displaystyle c}$ . Тоді[4] ^:173

${\displaystyle {\frac {q_{a}}{q_{b}}}={\frac {b}{a}},\quad {\frac {q_{b}}{q_{c}}}={\frac {c}{b}},\quad {\frac {q_{a}}{q_{c}}}={\frac {c}{a}}}$

і

${\displaystyle q_{a}\cdot a=q_{b}\cdot b=q_{c}\cdot c={\frac {2}{3}}S}$ ,

де ${\displaystyle S}$ — площа трикутника.

Факт того, що три медіани перетинаються в одній точці, довів ще Архімед.

• Центроїд (барицентр або центр мас) довільного чотирикутника лежить у точці перетину середніх ліній чотирикутника і відрізка, що з'єднує середини діагоналей, і ділить всі три відрізки навпіл.

• Якщо у вписаному в коло чотирикутнику провести діагональ, а в отримані два трикутники вписати два кола, потім зробити так само, провівши другу діагональ, тоді центроїди цих чотирьох трикутників лежатимуть на одному колі[5].
• В опуклого чотирикутника, вписаного в коло, «центроїд площі» або центр мас його площі G_a, вершинний центроїд або центр мас чотирьох його вершин G_v і точка перетину його діагоналей P колінеарні. Відстані між цими точками задає формула[6]

${\displaystyle PG_{a}={\tfrac {4}{3}}PG_{v}.}$

• Центр інерції
• Ортоцентр
• Інцентр
• Чудові точки трикутника

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 80-81. — ISBN 5-94057-170-0.
• Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год
• Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М: Учпедгиз, 1962. 153 с.
• Altshiller-Court, Nathan (1925). College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (вид. 2nd). New York: Barnes & Noble. LCCN 52013504.