Теорема Помпею

Теорема Помпе́ю — теорема в планіметрії, відкрита румунським математиком Дімітріе Помпею. Стверджує, що:

Для довільного рівностороннього трикутника $\scriptstyle ABC$ та довільної точки $\scriptstyle P$ в його площині відрізки $\scriptstyle PA$ , $\scriptstyle PB$ та $\scriptstyle PC$ є сторонами трикутника (можливо, виродженого).

Доведення

Розглянемо поворот на 60° навколо точки C. Припустимо, що A переходить у B, а P переходить у P '. Тоді маємо $\scriptstyle PC\ =\ P'C$ , $\scriptstyle \angle PCP'\ =\ 60^{\circ }$ . Звідси трикутник PCP ' рівносторонній, тому $\scriptstyle PP'\ =\ PC$ . З рівності трикутників очевидно, що $\scriptstyle PA\ =\ P'B$ . Тому трикутник PBP ' має сторони, рівні PA, PB, PC, що й завершує доведення теореми.

Додатково, якщо P знаходиться на описаному колі трикутника, то PA, PB і PC утворюють вироджений трикутник.

Також теорема є прямим наслідком нерівності Птолемея.

Посилання

Теорема Помпею на MathWorld (англ.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.