Теорема відліків Віттакера — Найквіста — Котельникова — Шеннона

Теоре́ма ві́дліків Вітта́кера — На́йквіста — Коте́льникова — Ше́ннона (теорема відліків) свідчить, що якщо безперервний сигнал x(t) має спектр, обмежений частотою F_max, то він може бути однозначно і без втрат відновлений за своїми дискретними відліками, узятими з частотою f_дискр=2*F_max, або, по-іншому, за відліками, узятими з періодом T_дискр=${\displaystyle {\frac {1}{2\cdot F_{max}}}}$.

Теорему відліків можна сформулювати зворотним чином:

Для того, щоб відновити сигнал за його відліками без втрат, необхідно, щоб частота дискретизації була хоча б вдвічі більшою за максимальну частоту первинного неперервного сигналу. F_д ≥ 2F_max.

Теорема відліків розглядає ідеальний випадок, коли сигнал почався нескінченно давно й ніколи не закінчиться, а також не має в часовій характеристиці точок розриву. Саме це має на увазі поняття «спектр, обмежений частотою F_max».

Реальні сигнали скінченні у часі і, звичайно, мають у часовій характеристиці розриви, відповідно їх спектр безкінечний. У такому випадку повне відновлення сигналу неможливо й з теореми відліків випливають 2 наслідки:

• Будь-який аналоговий сигнал може бути відновлений з якою завгодно точністю за своїми дискретними відліками, узятими із частотою ${\displaystyle f\;>\;2\Omega }$, де ${\displaystyle \Omega \;}$ — максимальна частота, якою обмежений спектр реального сигналу.
• Якщо максимальна частота в сигналі перевищує половину частоти переривання, то способу відновити сигнал з дискретного в аналоговий без спотворення не існує.

Теорема була сформульована Гаррі Найквістом в 1928 році у роботі «Certain topics in telegraph transmission theory». У 1933 року подібні дані були опубліковані В. О. Котельниковим в його роботі «Про пропускну здатність ефіру і дроту в електрозв'язку», що є однією з основоположних теорем в теорії і техніці цифрового зв'язку.