Умовний екстремум

Нехай ${\displaystyle {\bar {x}}_{0}}$ - точка умовного екстремуму функції ${\displaystyle f_{0}({\bar {x}})}$ при виконанні рівнянь зв’язку. Тоді в цій точці ${\displaystyle {\bar {x}}_{0}}$ градієнти ${\displaystyle \nabla f_{i},i=0,1,..,m}$ є лінійно залежні, тобто ${\displaystyle \exists \lambda _{i},i=0,1,..,m:\sum _{i=0}^{m}|\lambda _{i}|\neq 0}$ але ${\displaystyle \sum _{i=0}^{m}\lambda _{i}\nabla f_{i}={\bar {0}}}$.

Якщо ${\displaystyle {\bar {x}}_{0}}$ - точка умовного екстремуму функції ${\displaystyle f_{0}({\bar {x}})}$ відносно рівнянь зв’язку, то ${\displaystyle \exists \lambda _{1},..,\lambda _{m}}$ такі, що в точці ${\displaystyle {\bar {x}}_{0}~~\nabla f_{0}+\lambda _{1}\nabla f_{1}+..+\lambda _{m}f_{m}={\bar {0}}}$ або в координатному вигляді ${\displaystyle {\frac {\partial f_{0}}{\partial x_{1}}}({\bar {x}}_{0})+\lambda _{1}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}({\bar {x}}_{0})+..+\lambda _{m}{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}({\bar {x}}_{0})=0}$.

Нехай ${\displaystyle {\bar {x}}_{0}}$ є стаціонарною точкою функції Лагранжа ${\displaystyle L({\bar {f}},{\bar {\lambda }},{\bar {x}})}$ при ${\displaystyle \lambda ={\bar {\lambda }}_{0}}$. Якщо ${\displaystyle d^{2}L({\bar {x}}_{0}}$ - від'ємно (додатнью) визначена квадратична форма змінних ${\displaystyle dx_{1},..,dx{n}}$ при умові ${\displaystyle df_{1}({\bar {x}}_{i}=0,i=1,..,m}$, то ${\displaystyle {\bar {x}}_{0}}$ є точкою max (min для додатньо визначенної) умовного екстремуму. Якщо вона за цих умов не є знаковизначенною, тоді екстремуму немає.