Хвилі Лява

Хвилі Лява мають горизонтальну поляризацію; а саме, в однорідному ізотропному середовищі зміщення частинок в цій хвилі перпендикулярне вектору швидкості. Якщо сагитальну площину задати в площині (x, z) з віссю z, спрямовану вглиб матеріалу, то вони описуються плоскою хвилею з частотою ω виду

${\displaystyle U_{y}=A{\textrm {exp}}[i(k_{t}x-\omega t)],}$

де k_t — хвильове число, A — амплітуда. Це об'ємне рішення зазвичай не представляє інтересу. Якщо напівпростір, заповнений однорідним ізотропним середовищем, покрите тонким шаром матеріалу зі швидкістю звуку меншою, ніж в об'ємі, то виникає поверхнева хвиля з затухаючою амплітудою[2].

У разі ізотропного, однорідного та ідеально пружного середовища, що заповнює напівпростір z> 0, з густиною ρ_i, рівняння руху для зміщень U можна записати у вигляді[2]

${\displaystyle \rho _{i}{\frac {\partial ^{2}{\textbf {U}}^{i}}{\partial t^{2}}}=\mu _{i}\Delta {\textbf {U}}^{i},}$

({{{3}}})

де для поперечної хвилі U = (0, U_y, 0), індекс i проходить значення 1 і 2 для тонкого шару матеріалу товщиною h і для об'ємного матеріалу, що заповнює простір; z> h.

Повне рішення цього рівняння задається у вигляді

${\displaystyle U_{y}^{(1)}=(B\sin {s_{1}z}+C\cos {s_{1}z})\exp {[i(kx-\omega t)]},}$

({{{3}}})

${\displaystyle U_{y}^{(2)}=A\exp {(-s_{2}z)}\exp {[i(kx-\omega t)]},}$

({{{3}}})

де ${\displaystyle s_{1}={\sqrt {k_{t1}^{2}-k^{2}}}}$, ${\displaystyle s_{2}={\sqrt {k^{2}-k_{t2}^{2}}}}$. З граничних умов відсутності напружень на кордоні двох середовищ і безперервності дотичних зсувів напружень на поверхні можна отримати систему лінійних однорідних рівнянь для амплітуд A, B, C, яка має нетривіальне рішення при рівності визначника системи нулю[3]:

${\displaystyle \tan {s_{1}h}={\frac {\mu _{2}s_{2}}{\mu _{1}s_{1}}},}$

({{{3}}})

яке має безліч рішень. Амплітуди зсувів описуються виразом:

${\displaystyle U_{y}^{(1)}=A\cos {s_{1}(z+h)}\exp {[i(kx-\omega t)]},}$

({{{3}}})

${\displaystyle U_{y}^{(2)}=A\cos {s_{1}h}\exp {[i(kx-\omega t)-s_{2}z]}.}$

({{{3}}})

Коли швидкість звуку в поверхневому шарі менша, ніж в об'ємі, то рівняння (3) має дійсні рішення, що знаходятьс в області ${\displaystyle k_{t1}>k>k_{t2}}$. Цих коренів тим більше, чим більше значення виразу ${\displaystyle k_{t2}h}$. У межах малої товщини ${\displaystyle k_{t2}h\rightarrow 0}$ існує тільки одна хвиля Лява[4]:

${\displaystyle U_{y}^{(1)}=A\exp {[i(kx-\omega t)]},}$

({{{3}}})

${\displaystyle U_{y}^{(2)}=A\exp {[i(kx-\omega t)-s_{2}z]},}$

({{{3}}})

${\displaystyle k=k_{t2}\left[1+{\frac {1}{2}}k_{t2}^{2}h^{2}{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{2}^{2}}}\left(1-{\frac {c_{t1}^{2}}{c_{t2}^{2}}}\right)\right],}$

({{{3}}})

${\displaystyle s_{2}=k_{t2}\left(1-{\frac {c_{t1}^{2}}{c_{t2}^{2}}}\right)k_{t2}h{\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}.}$

({{{3}}})

• Викторов И. А. . {{{Заголовок}}}. — М. : Наука, 1981. — 287 с.
• Парийский Н. Н., Перцев Б. П. .  // Изв. АН СССР. Физика Земли. — 1972. — № 3. — С. 11—14.