Цикл (математика)

Перестановка множини X, яка бієктивною функцією ${\displaystyle \sigma :X\to X}$, називається циклом, якщо дія на X підгрупи утвореної ${\displaystyle \sigma }$ має саме одну орбіту з більш як одним елементом. Це поняття найчастіше вживають коли X скінченна множина; тоді й орбіта S скінченна. Нехай ${\displaystyle s_{0}}$ довільний елемент з S, і покладемо ${\displaystyle s_{i}=\sigma ^{i}(s)\,}$ для будь-якого ${\displaystyle i\in \mathbf {Z} }$. З того, що по припущенню S містить більше ніж один елемент, ${\displaystyle s_{1}\neq s_{0}}$; якщо S скінченна, існує мінімальне число ${\displaystyle k>1}$ для якого ${\displaystyle s_{k}=s_{0}}$. Тоді ${\displaystyle S=\{s_{0},s_{1},\ldots ,s_{k-1}\}}$, і ${\displaystyle \sigma }$ є переставка визначена

${\displaystyle \sigma (s_{i})=s_{i+1}\quad {\mbox{for }}0\leq i<k}$

і ${\displaystyle \sigma (x)=x}$ для будь-якого елементу з ${\displaystyle X\setminus S}$. Елементи не зафіксовані ${\displaystyle \sigma }$ можна зобразити як

${\displaystyle s_{0}\mapsto s_{1}\mapsto s_{2}\mapsto \cdots \mapsto s_{k-1}\mapsto s_{k}=s_{0}}$.

Цикл можна записати за допомогою циклічного запису ${\displaystyle \sigma =(s_{0}~s_{1}~\dots ~s_{k-1})}$ (коми тут не вживаються з метою уникнення плутанини з k-кортежем). Довжина циклу — це кількість елементів його орбіти. Цикл довжини k також звуть k-цикл.

Один з головних вислідів у симетричних групах стверджує, що будь-яку перестановку можна виразити як добуток неперетинних циклів (точніше: циклів з неперетинними орбітами); такі цикли комутують між собою, і вираз перестановки унікальний з точністю до порядку циклів (але зверніть увагу, що циклічний запис не унікальний: кожен k-цикл сам по собі може бути представлений k різними способами, в залежності від вибору ${\displaystyle s_{0}}$ в його орбіті). Отже мультимножина довжин циклів в цьому виразі унікально визначає перестановку, парність і клас спряженості перестановки в симетричній групі також визначаються цим.

Кількість k-циклів у симетричній групі S_n для ${\displaystyle 2\leq k\leq n}$ дається такими тотожними формулами

${\displaystyle {\binom {n}{k}}(k-1)!={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!k}}}$

k-цикл має парність (−1)^k − 1.

Цикл з лише двома елементами називається транспозицією. Наприклад перестановка {1, 4, 3, 2}, яка переводить 1 в 1, 2 в 4, 3 в 3 і 4 в 2 — це транспозиція (а саме така, що міняє місцями 2 і 4).