Число Коксетера

Число Коксетера — характеристика скінченної звідної групи Коксетера. У разі, коли група Коксетера є групою Вейля простої алгебри Лі ${\mathfrak {g}}$ , то говорять про число Коксетера алгебри ${\mathfrak {g}}$ .

Поняття названо на честь Гарольда Коксетера.

Означення

Існує кілька еквівалентних означень цього числа.

Число Коксетера дорівнює кількості коренів, поділеній на ранг. Еквівалентно, число Коксетера рівно подвоєному числу віддзеркалень в групі Коксетера, діленому на ранг. Якщо група побудована за простою алгеброю Лі, то розмірність цієї алгебри дорівнює n(h + 1), де n — ранг, і h — число Коксетера.
Елементом Коксетера (інколи елементом Кіллінга — Коксетера) називається добуток всіх простих відображень (не плутати з елементом групи Коксетера найбільшої довжини). Числом Коксетера називається порядок елемента Коксетера.
Якщо $\theta =\sum m_{i}\alpha _{i}$ $\text{[math]}$ — розкладання старшого кореня за простими коренями, то число Коксетер дорівнює $1+\sum m_{i}$ $\text{[math]}$ .
- Еквівалентно, якщо $\rho ^{\vee }$ — такий елемент, що $\langle \rho ^{\vee },\alpha _{i}\rangle =1$ , то $h=\langle \rho ^{\vee },\theta \rangle +1$ .
Число Коксетера — це найбільша з ступенів базисних інваріантів групи Коксетера.

Таблиця значень

Група Коксетера і символ Шлефлі		Граф Коксетера	Діаграма Динкіна	Число Коксетера $h$	Двійне число Коксетера $h^{\vee }$	Ступені базисних інваріантів
A_n	[3,3…,3]	…	…	n + 1	n + 1	2, 3, 4, …, n + 1
B_n	[4,3…,3]	…	…	2n	2n − 1	2, 4, 6, …, 2n
C_n	[4,3…,3]	…	…	2n	n + 1	2, 4, 6, …, 2n
D_n	[3,3,..3^1,1]	…	…	2n − 2	2n − 2	n; 2, 4, 6, …, 2n − 2
E₆	[3^2,2,1]			12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E₇	[3^3,2,1]			18	18	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E₈	[3^4,2,1]			30	30	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F₄	[3,4,3]			12	9	2, 6, 8, 12
G₂	[6]			6	4	2, 6
H₃	[5,3]		-	10		2, 6, 10
H₄	[5,3,3]		-	30		2, 12, 20, 30
I₂(p)	[p]		-	p		2, p

Посилання

Н. Бурбаки, Элементы математики, Группы и алгебры Ли, Главы IV—VI, М.: Мир, 1972.
J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990.
Etingof, Pavel I.; Frenkel, Igor; Kirillov, Alexander A. (1998), Lectures on Representation Theory and Knizhnik–Zamolodchikov Equations, Mathematical Surveys and Monographs 58, American Mathematical Society, ISBN 0821804960

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.