Алгебра Лі

Нехай ${\displaystyle e_{\lambda }}$ - базисні елементи алгебри Лі рангу ${\displaystyle r}$, так що ${\displaystyle \lambda ={\overline {1,r}}.}$ Тоді

${\displaystyle [e_{\lambda _{1}},e_{\lambda _{2}}]=c_{\lambda _{1}\lambda _{2}}^{\lambda _{3}}e_{\lambda _{3}},}$

де ${\displaystyle e_{\lambda _{1}\lambda _{2}}^{\lambda _{3}}}$ структурні сталі, антисиметричні по двом нижнім індексам. По однаковим індексам ${\displaystyle \lambda }$, які зустрічаються знизу та зверху здійснюється сумування від 1 до ${\displaystyle r.}$ Точковим представленням алгебри Лі ${\displaystyle l}$ у термінах асоціативної алгебри ${\displaystyle G}$ називається закон, який кожному елементові ${\displaystyle \xi ^{\lambda }e_{\lambda }\in l,}$ де ${\displaystyle \xi ^{\lambda }}$ - довільні дійсні числа, ставить у відповідність елемент ${\displaystyle \xi ^{\lambda }X_{\lambda }\in G,}$ де ${\displaystyle X_{\lambda }}$ - так звані генератори представлення алгебри Лі - лінійно незалежні й пов'язані між собою співвідношеннями

${\displaystyle X_{\lambda _{1}}X_{\lambda _{2}}-X_{\lambda _{2}}X_{\lambda _{1}}=C_{\lambda _{1}\lambda _{2}}^{\lambda _{3}}X_{\lambda _{3}}.}$ При цьому припускається, що ${\displaystyle G}$ містить одиницю ${\displaystyle e}$ та що ряд

${\displaystyle T^{\xi }\equiv \exp(\xi ^{\lambda }X_{\lambda })=e+{\frac {(xi^{\lambda }X_{\lambda })}{1!}}+{\frac {(\xi ^{\lambda }X_{\lambda })^{2}}{2!}}+...+{\frac {(\xi ^{\lambda }X_{\lambda })^{n}}{n!}}+...}$

збігається за усіх дійсних значень ${\displaystyle \xi ^{\lambda }.}$ Нехай ${\displaystyle C_{\xi }}$ - квадратна матриця порядку ${\displaystyle r}$ із елементами

${\displaystyle (C_{\xi })_{\lambda _{2}}^{\lambda _{1}}\equiv c_{\lambda \lambda _{2}}^{\lambda _{1}}\xi ^{\lambda },}$

яка характеризує Приєднане представлення групи Лі. Якщо ${\displaystyle E}$ - одинична матриця порядку ${\displaystyle r,}$ то

${\displaystyle U(\xi )=E-{\frac {1}{2!}}C_{\xi }+{\frac {1}{3!}}C_{\xi }^{2}+...={\frac {E-\exp(-C_{\xi })}{C_{\xi }}}.}$

Матриці ${\displaystyle U(\xi )}$ та ${\displaystyle U(-\xi )}$ є невиродженими (тобто зворотними),

${\displaystyle \lim U(\xi )=\lim U(-\xi )=E}$

так що за малих значень ${\displaystyle \xi ^{\lambda }}$ матриці ${\displaystyle U(\xi )}$ та ${\displaystyle U(-\xi )}$ близькі до одиничної матриці й їх визначники є відмінними від нуля.

Для області значень параметрів ${\displaystyle \xi ^{\lambda }}$, у якій невироджена матриця ${\displaystyle U(\xi )}$, мають місце тотожності[1]:

${\displaystyle X_{\lambda }T^{\xi }=Y_{\xi }T^{\xi },\quad \quad T^{\xi }X_{\lambda }=Z_{\lambda }T^{\xi },}$

де

${\displaystyle Y_{\lambda }=U^{-1}(-\xi )_{\lambda }^{\lambda _{1}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{\lambda _{1}}}},\quad \quad Z_{\lambda }=U^{-1}(\xi )_{\lambda }^{\lambda _{1}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{\lambda _{1}}}}.}$

• Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — К. : Наукова думка, 1992. — 368 с. (укр.)
• Лагно В.І. Реалізації алгебр Лі груп локальних перетворень та груповий аналіз нелінійних диференціальних рівнянь. — К. : Інститут математики НАН України, 2003. — 347 с.

• Група Лі
• Дужки Лі
• Лінійна алгебрична група
• Нільпотентна алгебра Лі
• Редуктивна алгебра Лі
• Алгебра Валя

1. Г.А.Зайцев - Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.