Щільність послідовності
Щільність послідовності ― поняття загальної адитивної теорії чисел, що вивчає закони додавання цілих послідовностей загального вигляду. Щільність послідовності є мірою того, яка частина послідовності всіх натуральних чисел належить даній послідовності цілих невід'ємних чисел . Під поняттям щільності послідовності мають на увазі щільність , введену в 1930 Шнірельманом (звідси англійська назва терміна — Schnirelmann density) послідовності, А саме:
де — кількість членів послідовності , що не перевищують .
Пов'язані визначення
Нехай ― арифметична сума послідовностей і , тобто множина .
Якщо вважають , аналогічно і т. д.
Якщо , то називається базисом -го порядку.
Властивості
- Щільність тоді і тільки тоді, коли збігається із множиною всіх цілих невід'ємних чисел.
- Нерівність Шнірельмана
- Нерівність Манна ― Дайсона
З нерівності Шнірельмана випливає, що будь-яка послідовність додатної щільності є базисом скінченного порядку. Застосування цього факту до адитивних задач, у яких часто підсумовуються послідовності нульової щільності, здійснюється за допомогою попереднього конструювання з заданих послідовностей нових з додатною щільністю. Наприклад, за допомогою методів решета доводиться, що послідовність , де пробігає прості числа, має додатну щільність. Звідси випливає теорема Шнірельмана: існує таке ціле число , що будь-яке натуральне число є сумою не більше ніж простих чисел. Ця теорема дає розв'язок так званої ослабленої проблеми Гольдбаха.
Варіації та узагальнення
Різновидом поняття щільності послідовності є поняття асимптотичної щільності, окремим випадком якої є натуральна щільність.
Поняття щільності послідовності узагальнюється на числові послідовності, відмінні від натурального ряду, наприклад на послідовності цілих чисел у полях алгебричних чисел. Завдяки цьому вдається вивчати базиси в алгебричних полях.