F-алгебра

${\displaystyle F}$-алгеброю ендофунктора

${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\longrightarrow {\mathcal {C}}}$

називається об'єкт ${\displaystyle A}$ з ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ разом з морфізмом у ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \alpha :FA\longrightarrow A}$.

Таким чином, ${\displaystyle F}$-алгебра — це пара ${\displaystyle (A,\alpha )}$.

Гомоморфізмом з ${\displaystyle F}$-алгебри ${\displaystyle (A,\alpha )}$ у ${\displaystyle F}$-алгебру ${\displaystyle (B,\beta )}$ називається морфізм у ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle f:A\longrightarrow B}$,

для якого виконується

${\displaystyle f\circ \alpha =\beta \circ Ff}$

Для будь-якого заданого ендофунктора ${\displaystyle F}$ можна розглянути категорію, об'єктами якої є ${\displaystyle F}$-алгебри, а морфізмами — гомоморфізми між ${\displaystyle F}$-алгебрами.

Для прикладу, розглянемо ендофунктор ${\displaystyle F:Set\to Set}$, який відображає множину ${\displaystyle X}$ у ${\displaystyle 1+X}$. Тут ${\displaystyle Set}$ є категорією множин, ${\displaystyle 1}$ є скінченим об'єктом категорії ${\displaystyle Set}$ (будь-яка одноелементна множина), а ${\displaystyle +}$ — операція кодобутку (диз'юнктне об'єднання). Тоді множина N натуральних чисел разом з функцією ${\displaystyle [\mathrm {zero} ,\mathrm {succ} ]:1+\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$, яка є кодобутком функцій ${\displaystyle \mathrm {zero} :1\to \mathbb {N} }$ (котра завжди повертає 0) та ${\displaystyle \mathrm {succ} :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ (котра відображає n у n+1), є ${\displaystyle F}$-алгеброй.