Ідеальна кільцева в'язанка

Кільцевою сумою називається сума будь-якої кількості (від 1 до n-1) послідовно розміщених елементів циклічної n-послідовності. Наприклад, циклічна послідовність (1,3,2,7), що на рис. 1, є ідеальною кільцевою в'язанкою, оскільки чотири (n=4) її елементи перелічують всі числа натурального ряду від 1 до ${\displaystyle n(n-1)+1=13}$, утворених рівно одним (R=1) способом обрання початкового та останнього елементів цієї послідовності, що додаються:

Рис. 1. ІКВ з чотирьох елементів: 1, 3, 2, 7.

Цей ряд можна продовжити, обираючи перший елемент для початку відліку та обходячи кільцеву схему більше одного разу, наприклад: 15=2+7+1+3+2 тощо.

Повні сім'ї деяких ІКВ для n ≤ 13

Циклічна послідовність (1,1,2,3) є також ідеальною кільцевою в'язанкою, оскільки чотири (n=4) її елементи перелічують всі числа натурального ряду від 1 до ${\displaystyle n(n-1)/R=6}$ , утворених рівно двома (R=2) різними способом обрання початкового та останнього елементів цієї послідовності:

Рис. 2. Повна сім'я гармонійних подвійних співвідношень від 1:12 до 1:12 з ІКВ 1, 3, 2, 7.

Окрім того, з ІКВ, наприклад, з (1, 3, 2, 7) можна отримати будь-яке двомісне співвідношення від 1:12 до 12:1. Сума чисел цього ІКВ 1+3+2+7=13 може бути розбита на частини так, щоб у множині всіх можливих способів його розбиття отримати ряд двомісних пропорцій (рис. 2). Таких сум є безліч.

Багатовимірна ІКВ — це циклічна n-послідовність сумірних багатовимірних елементів, наприклад, t-вимірних векторів, множина усіх кільцевих вектор-сум яких, обчислених за відповідними модулями перелічує координати правильної t-вимірної решітки фіксоване число разів.

Кільцевою вектор-сумою називається сума будь-якої кількості (від 1 до n-1) послідовно розміщених t-вимірних векторів кільцевої n-послідовності. Прикладом двовимірної (t=2) ІКВ є циклічна послідовність векторів ((0,1), (0,2), (1,1)), де модулем (довжиною циклу) першої складової двовимірного вектора є ${\displaystyle m_{1}}$=2, а другої — ${\displaystyle m_{2}}$ =3. Обчисливши всі кільцеві вектор-суми з урахуванням числових значень відповідних модулів, легко перевірити, що вони вичерпують множину координат двовимірної решітки 2×3:

${\displaystyle {\begin{matrix}(0,0)&(0,1)&(0,2)\\(1,0)&(1,1)&(1,2)\end{matrix}}}$

Однією з необхідних умов існування t-вимірної ІКВ з параметрами n, R є вимога (${\displaystyle m_{1}}$ ,${\displaystyle m_{2}}$,…,${\displaystyle m_{t}}$)=1, де ${\displaystyle m_{1}}$, ${\displaystyle m_{2}}$, ${\displaystyle m_{t}}$ — розміри t-вимірної решітки, добуток числових значень яких дорівнює ${\displaystyle n(n-1)/R}$ або ${\displaystyle [1+n(n-1)]/R}$. Теоретично доведено, що існує як завгодно багато ІКВ.

Будь-яка з наявних ідеальних в'язанок з ланцюжковою структурою — так звана «ідеальна лінійка Голомба» є частиною відповідної ІКВ. На відміну від ідеальної лінійки Голомба, існує нескінченно багато ІКВ.

Теорія ІКВ базується на окремих розділах комбінаторного аналізу, алгебричної теорії чисел та полів Ґалуа.

ІКВ знаходять застосування в контрольно-вимірювальній техніці, інформаційних і комп'ютерних технологіях, електротехніці та радіофізиці, кібернетиці й логістиці.

• Різник Володимир Васильович
• Ансамбль досконалих куторомірів
• Golomb Ruler

• Наукова школа професора Різника
• V.V.Riznyk. Multi-dimensional systems based on perfect combinatorial models. Colloquium on Multidimensional Systems: Problems and Solutions.IEE, Savoy Place, London WC2R 0BL, UK, pp.5/1-5/4, January 1998.
• James David A., Magic circles.- Math.Mag..-1981, v.54, № 3, p.122-125.
• Volodymyr Riznyk, Perfect distribution phenomenon and the origin of the space-time harmony, Generative Art Conference (GA2001), Milan, Italy,2001.
• V.Riznyk, Application of Ideal Ring-Like Combinatorial Configurations for Modelling on Nonlinear Processes, Proceedings of the 5th Zittau Fuzzy Colloquium, Sept. 4-5, 1997, Zittau, Germany,1997, pp.115-117.
• V.Riznyk, Multidimensional Systems Based on Perfect Combinatorial Models, IEE, Multidimencional Systems:Problems and Solutions,London, UK, 1998, #225, pp.5/1-5/4.
• V.Riznyk, Perfect Distribution Phenomenon in Combinatorics and Its applications to System Optimization, 19-th IFIP TC7 Conference on System Modelling and Optimization, Cambridge, July 12-16, 1999, England.
• V.Riznyk, Perfect Structural Distribution Phenomenon in Mathematics, Technology and Nature, Proceedings of the 4th Congress and Exhibition od ISIS-Symmetry, Sept. 13-19, 1998, Haifa, Israel.
• А. К. Дьюдни, О линейках Коломба и их применении в радиоастрономии. -В мире науки(Scientific American), № 2, 1986, с.103-107.
• Різник В. В. Синтез оптимальних комбінаторних систем.-Львів, Вища школа, 1989. −168 с.
• А.с. СССР 429276, Способ дозирования веществ, Бюл.№ 19, 1974.
• Від таємниць симетрії до пізнання всеосяжної гармонії природи// Вісник НТШ. — 2008. — Число 40. — с. 30-33.