Поле Галуа

Ненульові елементи поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ утворюють групу щодо операції множення, яка називається мультиплікативною групою поля і позначається ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{*}}$. Ця група є циклічною, тобто вона має породжуючий елемент, а всі інші елементи отримуються піднесенням до степеня породжуючого[1].

Породжуючий елемент ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{*}}$ називається також примітивним елементом поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$. Поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ містить ${\displaystyle \varphi (q-1)}$ примітивних елементів, де ${\displaystyle \varphi }$ — Функція Ейлера.[2]

• Кожен елемент поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ задовольняє рівності ${\displaystyle a^{q}=a}$[3].
• Поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$ містить в собі як підполе ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{k}}}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle k}$ є дільником ${\displaystyle n}$[4].
• Якщо ${\displaystyle f\in \mathbb {F} _{q}[x]}$ — незвідний многочлен степеня ${\displaystyle m}$, то поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{m}}}$ містить будь-який його корінь ${\displaystyle \alpha }$, причому множина усіх його коренів має вигляд ${\displaystyle \{\alpha ,\alpha ^{q},\ldots ,\alpha ^{q^{m-1}}\}}$. Таким чином, ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{m}}}$ є полем розкладу многочлена ${\displaystyle f}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$[5].
• Для кожного скінченного поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ та натурального числа ${\displaystyle n}$ добуток усіх нормованих незвідних над ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ многочленів, степінь яких ділить ${\displaystyle n}$, дорівнює ${\displaystyle x^{q^{n}}-x}$. Зокрема, сума степенів таких многочленів дорівнює ${\displaystyle q^{n}}$[6].
• Число ${\displaystyle N(q,n)}$ нормованих многочленів степеня ${\displaystyle n}$, незвідних над полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$ визначається за формулою ${\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d|n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}},}$ де ${\displaystyle \mu }$ — Функція Мебіуса. Це твердження випливає з формули ${\displaystyle q^{n}=\sum _{d|n}dN(q,d)}$ після застосування формули обертання Мебіуса[7].

Поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ складається з двох елементів, але воно може бути задано різними способами в залежності від вибору елементів і визначення операцій додавання та множення на них:[8]

• Як множина з двох чисел «${\displaystyle 0}$» і «${\displaystyle 1}$», на якій операції додавання та множення визначені як додавання та множення чисел з приведенням результату по модулю ${\displaystyle 2}$:

• Як множина з двох логічних об'єктів «Хибність» (F) і «Істина» (T), на якій операції додавання та множення визначені як булеві операції «виключна диз'юнкція» і «кон'юнкція» відповідно:

Дані поля є ізоморфними один одному, тобто це фактично два різних способи задання одного й того ж поля.

Поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}=\{0,1,2\}}$. Додавання та множення визначені як додавання та множення чисел по модулю ${\displaystyle 3}$. Таблиці операцій ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$ мають вигляд:

Поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{4}}$ можна задати як множину ${\displaystyle \{0,1,\alpha ,\alpha +1\}}$ (де ${\displaystyle \alpha }$ — корінь многочлена ${\displaystyle f(x)=x^{2}+x+1}$, тобто ${\displaystyle \alpha ^{2}=-\alpha -1=\alpha +1}$). Таблиці операцій ${\displaystyle \mathbb {F} _{4}}$ мають вигляд:[9]

+ 0 1 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha +1}$ 0 0 1 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha +1}$ 1 1 0 ${\displaystyle \alpha +1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha +1}$ 0 1 ${\displaystyle \alpha +1}$ ${\displaystyle \alpha +1}$ ${\displaystyle \alpha }$ 1 0

× 0 1 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha +1}$ 0 0 0 0 0 1 0 1 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha +1}$ ${\displaystyle \alpha }$ 0 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha +1}$ 1 ${\displaystyle \alpha +1}$ 0 ${\displaystyle \alpha +1}$ 1 ${\displaystyle \alpha }$

Щоб задати поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{9}=\mathrm {GF} (3^{2})}$ достатньо знайти нормований многочлен степеня ${\displaystyle 2}$, незвідний над ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$. Такими многочленами є:

${\displaystyle x^{2}+1}$

${\displaystyle x^{2}+x+2}$

${\displaystyle x^{2}+2x+2}$

Для ${\displaystyle x^{2}+1}$ полем є ${\displaystyle \mathbb {F} _{9}=\mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)}$ (якщо замість ${\displaystyle x^{2}+1}$ взяти інший многочлен, то буде нове поле, ізоморфне старому). В наведених нижче таблиця символ ${\displaystyle i}$ означає клас еквівалентності многочлена ${\displaystyle x}$ у фактор-кільці ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)}$, який задовольняє рівнянню ${\displaystyle i^{2}+1=0}$.

Таблиця додавання в ${\displaystyle \mathbb {F} _{9}}$ визначається, виходячи з відношення ${\displaystyle 1+1+1=0}$:

+	0	1	2	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$
0	0	1	2	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$
1	1	2	0	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle 2i}$
2	2	0	1	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i+1}$
${\displaystyle i}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$	0	1	2
${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle 2i}$	1	2	0
${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i+1}$	2	0	1
${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$	0	1	2	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle i+2}$
${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle 2i}$	1	2	0	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle i}$
${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i+1}$	2	0	1	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i+1}$

Таблиця множення в ${\displaystyle \mathbb {F} _{9}}$ визначається з співвідношення ${\displaystyle i^{2}=-1}$:

×	0	1	2	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$
2	0	2	1	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle i+1}$
${\displaystyle i}$	0	${\displaystyle i}$	${\displaystyle 2i}$	2	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle 2i+2}$	1	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle 2i+1}$
${\displaystyle i+1}$	0	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle 2i}$	1	${\displaystyle 2i+1}$	2	${\displaystyle i}$
${\displaystyle i+2}$	0	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$	1	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle 2i}$	2
${\displaystyle 2i}$	0	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle i}$	1	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle i+1}$	2	${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle i+2}$
${\displaystyle 2i+1}$	0	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle i+1}$	2	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle i}$	1
${\displaystyle 2i+2}$	0	${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle i}$	2	${\displaystyle i+2}$	1	${\displaystyle 2i}$

Можна перевірити, що елемент ${\displaystyle i+1}$ має порядок ${\displaystyle 8}$ і є примітивним. Елемент ${\displaystyle i}$ не є примітивним, так як ${\displaystyle i^{4}=1}$ (іншими словами, многочлен ${\displaystyle x^{2}+1\in \mathbb {F} _{3}[x]}$ не є примітивним)[9].

Коли поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{16}=\mathrm {GF} (2^{4})}$ задається з допомогою неприводимого многочлена ${\displaystyle x^{4}+x+1}$, елементи розширення задаються наборами коефіцієнтів многочлена, який отримується в залишку при діленні на ${\displaystyle x^{4}+x+1}$, записаними в порядку зростання степенів. Мультиплікативна група породжується елементом ${\displaystyle \alpha =x}$, який записується як (0, 1, 0, 0)[10].

Многочлен	Степінь ${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle 1,x,x^{2},x^{3}}$
	${\displaystyle \alpha }$	(0, 1, 0, 0)
	${\displaystyle \alpha ^{2}}$	(0, 0, 1, 0)
	${\displaystyle \alpha ^{3}}$	(0, 0, 0, 1)
${\displaystyle 1+\alpha }$	${\displaystyle \alpha ^{4}}$	(1, 1, 0, 0)
${\displaystyle \alpha +\alpha ^{2}}$	${\displaystyle \alpha ^{5}}$	(0, 1, 1, 0)
${\displaystyle \alpha ^{2}+\alpha ^{3}}$	${\displaystyle \alpha ^{6}}$	(0, 0, 1, 1)
${\displaystyle \alpha ^{3}+\alpha +1=\alpha ^{3}+\alpha ^{4}}$	${\displaystyle \alpha ^{7}}$	(1, 1, 0, 1)
${\displaystyle 1+\alpha ^{2}=\alpha +1+\alpha ^{2}+\alpha }$	${\displaystyle \alpha ^{8}}$	(1, 0, 1, 0)
${\displaystyle \alpha +\alpha ^{3}}$	${\displaystyle \alpha ^{9}}$	(0, 1, 0, 1)
${\displaystyle \alpha ^{2}+1+\alpha =\alpha ^{2}+\alpha ^{4}}$	${\displaystyle \alpha ^{10}}$	(1, 1, 1, 0)
${\displaystyle \alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}}$	${\displaystyle \alpha ^{11}}$	(0, 1, 1, 1)
${\displaystyle 1+\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}}$	${\displaystyle \alpha ^{12}}$	(1, 1, 1, 1)
${\displaystyle 1+\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}}$	${\displaystyle \alpha ^{13}}$	(1, 0, 1, 1)
${\displaystyle 1+\alpha ^{3}=\alpha +\alpha ^{3}+\alpha ^{4}}$	${\displaystyle \alpha ^{14}}$	(1, 0, 0, 1)
${\displaystyle 1=\alpha +\alpha ^{4}}$	${\displaystyle \alpha ^{15}}$	(1, 0, 0, 0)

Еварист Галуа

У 1830 році вісімнадцятирічний Еварист Галуа опублікував працю[13], яка поклала основу загальної теорії скінченних полів. В цій праці Галуа (в зв'язку з дослідженнями по теорії груп перестановок та алгебраїчних рівнянь[14]) вводить уявний корінь порівняння ${\displaystyle F(x)\equiv 0{\pmod {p}}}$, де ${\displaystyle F(x)}$ — довільний многочлен степеня ${\displaystyle \nu }$, незвідним по модулю ${\displaystyle p}$. Після цього розглядається загальний вираз ${\displaystyle A=a_{0}+{a_{1}}i+{a_{2}}i^{2}+...+a_{\nu -1}i^{\nu -1}}$, де ${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{\nu -1}}$ — деякі цілі числа по модулю ${\displaystyle p}$. Якщо надавати цим числам різні значення, вираз ${\displaystyle A}$ буде приймати ${\displaystyle p^{\nu }}$ значень. Далі Галуа показує, що ці значення утворюють поле і мультиплікативна група цього поля є циклічною. Таким чином, можна вважати що з цієї праці почались фундаментальні дослідження загальної теорії скінченних полів. На відміну від його попередників, які досліджували лише поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$, Галуа вивчає вже поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$, які назвали полями Галуа на його честь[15].

Насправді, перша праця в цьому напрямку була написана Гаусом приблизно у 1797 році, однак при його житті це дослідження так й не було видане. Ймовірно, це дослідження було проігнороване редактором його творів, тому на світ ця робота з'явилася тільки в посмертному виданні у 1863 році[16].

У 1893 році математик Еліаким Мур довів теорему про класифікацію скінченних полів, яка стверджує, що будь-яке скінченне поле є полем Галуа, тобто будь-яке поле з ${\displaystyle p^{n}}$ елементів ізоморфне полю класів залишків многочленів з коефіцієнтами з ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ по модулю неприводимого многочлена степеня ${\displaystyle n}$[17]. До цього ж року відноситься перша спроба дати аксіоматичний підхід до теорії скінченних полів, здійснена Генрихом Вебером, який намагався поєднати в в своїй роботі визначення, які виникли в різних розділах математики, в тому числі й визначення скінченного поля[18]. Далі у 1905 році Джозеф Веддерберн доводить малу теорему Веддерберна про те, що будь-яке скінченне тіло комутативне, тобто є полем. Сучасне аксіоматичне визначення поля (з скінченними полями як окремим випадком) належить Ернсту Стейніцу і викладено в його праці 1910 року[19].