Натуральні числа

Формальне означення натуральних чисел сформулював італійський математик Джузеппе Пеано в 1889 році. Аксіоми Пеано базувалися на розробках Грассмана, хоча саме Пеано надав їм сучасного вигляду. Ці аксіоми дозволили формалізувати арифметику. Після їх введення з'явилася можливість доводити, наприклад, рівність ${\displaystyle 2\cdot 2=4\,}$, основні властивості натуральних чисел, а також формалізовано будувати системи цілих, раціональних, дійсних чисел.

Аксіоми Пеано:

Введемо функцію ${\displaystyle S(x)\,}$, котра зіставляє числу ${\displaystyle x\,}$ наступне за ним число (інакше кажучи, число, що слідує за ним).

1. ${\displaystyle 1\in \mathbb {N} }$ (одиниця є натуральним числом).
2. Якщо ${\displaystyle a\in \mathbb {N} }$, то ${\displaystyle S(a)\in \mathbb {N} }$ (число, наступне за натуральним, також є натуральним).
3. ${\displaystyle \not \exists a\in \mathbb {N} \ (S(a)=1)}$ (одиниця не слідує за жодним натуральним числом).
4. Якщо ${\displaystyle \ S(b)=a}$ та ${\displaystyle \ S(c)=a,}$ то ${\displaystyle \ b=c}$ (натуральне число не може слідувати за двома різними натуральними числами).
5. Аксіома індукції: Нехай деяке висловлювання, залежне від числа ${\displaystyle \ n}$, істинне для ${\displaystyle \ n=1}$ (база індукції). І нехай для кожного натурального ${\displaystyle \ k}$ з істинності цього висловлювання для ${\displaystyle \ n=k}$ випливає його істинність для ${\displaystyle \ n=S(k)}$ (індукційне припущення). Тоді це висловлювання істинне для всіх натуральних ${\displaystyle \ n}$.

В оригіналі Джузеппе Пеано першим натуральним числом брав 0, а не 1. Для множини натуральних чисел у цьому «розширеному» сенсі, тобто ${\displaystyle \ \{0,1,2,...\}}$, зазвичай використовують позначення ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ або ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}.}$ У деяких джерелах і зараз вважають це множиною натуральних чисел, але загальноприйнято вважати, що найменше натуральне число — це 1; натомість множину ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ можна назвати множиною цілих невід'ємних чисел.

Згідно з теорією множин, усі об'єкти побудови будь-яких математичних систем можна трактувати як множини. Розвиваючи цю точку зору, натуральні числа можна означати, базуючися на множинах. У теоретико-множинному означенні натуральні числа включають і число 0.

У стандартному теоретико-множинному означенні використовується конструкція, запропонована Джоном фон Нейманом. Згідно з нею, натуральні числа ототожнюються з певними множинами, відповідно до таких двох правил:

• ${\displaystyle 0=\varnothing }$ — порожня множина;
• ${\displaystyle S(n)=n\cup \{n\}.}$

Тут, як і вище, під ${\displaystyle S(n)\,}$ ми розуміємо число, наступне відносно ${\displaystyle n\,}$. Числа, задані таким чином, називаються ординальними.

Ось ординальні числа та відповідні їм натуральні числа:

• ${\displaystyle 0=\varnothing }$
• ${\displaystyle 1=\{0\}=\{\varnothing \}}$
• ${\displaystyle 2=\{0,1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$
• ${\displaystyle 3=\{0,1,2\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}}$
• ${\displaystyle \mathbb {} ...}$
• ${\displaystyle n+1=\{0,1,...,n\}=n\cup \{n\}}$
• ${\displaystyle \mathbb {} ...}$

Згідно з цим означенням, у множині, що відповідає числу ${\displaystyle n\,}$, є рівно ${\displaystyle n\,}$ елементів (у наївному розумінні) і ${\displaystyle n\leq m\,}$, якщо і тільки якщо множина, що відповідає числу ${\displaystyle n\,}$, є підмножиною множини, що відповідає числу ${\displaystyle m\,}$.

Хоча стандартна конструкція корисна, але вона не є єдиною можливою конструкцією. Наприклад:

Означимо правила так :

• ${\displaystyle 0=\varnothing$ ;}
• ${\displaystyle \mathbb {} S(n)=\{n\}.}$

Тоді маємо

• ${\displaystyle 0=\varnothing }$
• ${\displaystyle 1=\{0\}=\{\varnothing \}}$
• ${\displaystyle 2=\{1\}=\{\{\varnothing \}\}}$
• ${\displaystyle \mathbb {} ...}$

Або можна означити правила так :

• ${\displaystyle 0=\{\varnothing \};}$
• ${\displaystyle S(n)=n\cup \{n\}.}$

Тоді маємо

• ${\displaystyle 0=\{\varnothing \}}$
• ${\displaystyle 1=\{\varnothing ,0\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$
• ${\displaystyle 2=\{\varnothing ,0,1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}}$
• ${\displaystyle \mathbb {} ...}$

Можливо, найстаріше означення натуральних чисел — означення, звичайно приписуване Фреге та Расселу, в якому кожне конкретне натуральне число ${\displaystyle n}$ означене як множина всіх множин з ${\displaystyle n}$ елементами. Це означення може здатися нечітким, але насправді воно може бути строго переформульовано таким чином:

• ${\displaystyle 0=\{\varnothing \}}$ — множина всіх множин без елементів (з нульовою кількістю елементів);
• ${\displaystyle S(A)=\{x\cup \{y\}\mid x\in A\wedge y\not \in x\}}$, для будь-якої множини A.

Тоді 0 буде множиною всіх множин без елементів, ${\displaystyle 1=S(0)\,}$ буде множиною всіх множин з 1 елементом, ${\displaystyle 2=S(1)\,}$ буде множиною всіх множин з 2 елементами, і так далі.