Індекс підгрупи

Індекс підгрупи $H$ у групі $G$ ― число класів суміжності в кожному (правому або лівому) із розкладів групи $G$ за цією підгрупою $H$ (в нескінченному випадку — потужність множини цих класів).

Індекс підгрупи $H$ в групі $G$ зазвичай позначається $[G:H]$ .

Пов'язані означення

Якщо число суміжних класів скінченне, то $H$ називається підгрупою скінченного індексу в $G$ .

Властивості

Добуток порядку підгрупи $H$ $\text{[math]}$ на її індекс $[G:H]$ $\text{[math]}$ рівний порядку групи $G$ $\text{[math]}$ (теорема Лагранжа).
- Це твердження є вірним як для скінченної групи $G$ , так і у випадку нескінченної $G$ ― для відповідних потужностей.
Якщо H є підгрупою G, а K — підгрупою H, то:

[G:K]=[G:H]\,[H:K].

Теорема Пуанкаре

Перетин скінченної кількості підгруп скінченного індексу має скінченний індекс (теорема Пуанкаре).

Твердження достатньо довести для випадку двох підгруп. Нехай підгрупи Н і F — підгрупи скінченного індексу в групі G і D — їх перетин. Елементи a і b тоді і тільки тоді належать одному лівосторонньому суміжному класу по D, якщо $a^{-1}b\in D$ , тобто якщо $a^{-1}b\in H$ і $a^{-1}b\in F$ . Отже всі лівосторонні класи суміжності групи G по підгрупі D, це всі непусті перетини лівосторонніх класів суміжності по підгрупі Н з лівосторонніми класами по підгрупі F. Із скінченності індексів підгруп Н і F випливає скінченність числа цих перетинів і скінченність індексу підгрупи D в групі G.

З доведення також випливає нерівність:

$[G:H\cap F]\leq [G:F]\,[G:F].$

Див. також

Література

О.Г.Ганюшкін, О.О.Безущак. Теорія груп: Навчальний посібник для студентів механіко математичного факультету. К.: Видавничо-поліграфічний центр Київський університет, 2005.
Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.