Перетин множин

• Перетин множин є бінарною операцією на довільному булеані ${\displaystyle 2^{X}}$;
• Операція перетину множин комутативна:

${\displaystyle A\cap B=B\cap A;\!}$

• Операція перетину множин асоціативна:

${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C);\!}$

• Універсальна множина ${\displaystyle X}$ є нейтральним елементом операції перетину множин:

${\displaystyle A\cap X=A;\!}$

• З вищеперечислених властивостей випливає, що булеан з операцією перетину множин є абелевою групою;
• Операція перетину множин ідемпотентна:

${\displaystyle A\cap A=A;\!}$

• Якщо ${\displaystyle \emptyset }$ — порожня множина, то

${\displaystyle A\cap \emptyset =\emptyset .}$

В загальному випадку, якщо множина M є непорожньою множиною, елементами якої в свою чергу є множини. Тоді елемент x є елементом перетину M тоді й тільки тоді, коли для кожного елемента A з M, x є елементом A.

В символьній формі:

${\displaystyle x\in \bigcap \mathbf {M} \iff \forall A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.}$

Наприклад, множина A∩B∩C є перетином такої колекції множин {A,B,C}.

Позначення перетину довільної кількості множин такі:

${\displaystyle \bigcap \mathbf {M} ,}$ або ${\displaystyle \bigcap _{A\in \mathbf {M} }A.}$

Остання нотація може бути узагальнена до

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i},}$

що позначає перетин колекції множин {A_i : i ∈ I}. Тут I - непорожня множина, і A_i - множина для кожного i в I.

В цьому випадку I є індексна множина (тобто множина індексів, натуральних чисел), і можна застосувати нотацію, аналогічну нотації для сум:

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}}$

Також можна писати "A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ ∩ ...

• Кон'юнкція
• Переріз множини дійсних чисел

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — Москва : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)