Інтегральна формула Пуассона

Інтегра́льна формула Пуассо́на Нехай для гармонічної в кулі функції u(r, φ) поставлена умова рівності на границі функції u₀: u(R, φ) = u₀(φ), при цьому функції належать наступним класам гладкості: $u(r,\varphi )\in C^{2}(D)\cap C({\overline {D}}),\ u_{0}(\varphi )\in C^{1}(\partial D)$ , де ∂D — границя кулі D, а ${\overline {D}}$ — його замикання. Тоді розв'язок такої задачі Діріхле можна представити через інтеграл Пуассона:

u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{\omega _{n}R}}\int \limits _{\partial D}{\frac {u_{0}(\psi )}{|r-\psi |^{n}}}\,dS(\psi ),\ r\in [0;R),

где ω_n — площа одиничної сфери, а n — розмірність простору.

Для двовимірного простору

Нехай f(z) є функція, аналітична всередині і на межі кола К радіуса R (за центр кола, ми візьмемо, наприклад, початок координат). Для довільної точки $z=e^{ir}$ , що лежить всередині K, ми маємо за формулою Коші:

$f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{K}{\frac {f(\psi )}{z-\psi }}\,d\psi ={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(Re^{i\psi }){\frac {Re^{i\psi }}{Re^{i\psi }-re^{i\psi }}}\,d\psi$ , (1)

Розглянемо z* симетричну відносно К, тобто $z*={\frac {R^{2}}{\bar {z}}}={\frac {R^{2}}{r}}e^{i\psi }$ . Оскільки точка z* не належить К то функція ${\frac {f(z)}{\psi -z*}}$ буде аналітичною всередині і на границі кола К, а тому за теоремою Коші маємо: $0={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{K}{\frac {f(\psi )}{z*-\psi }}\,d\psi ={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(Re^{i\psi }){\frac {re^{i\psi }}{re^{i\psi }-Re^{i\phi }}}\,d\psi$ , (2)

Віднімаємо від (1) рівність (2):

$f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(Re^{i\psi })({\frac {Re^{i\psi }}{Re^{i\psi }-re^{i\phi }}}-{\frac {re^{i\psi }}{re^{i\psi }-Re^{i\phi }}})d\psi$

яка після елементарних перетворень виглядатиме:

$f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(Re^{i\psi }){\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rrcos(\phi -\psi )+r^{2}}}d\psi$

Порівнюючи ліву і праву частини рівності, отримаємо формулу:

$U(r,\psi )={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }U(r,\psi ){\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rrcos(\phi -\psi )+r^{2}}}d\psi$ , (3)

яка носить назву інтегральна формула Пуассона. Оскільки кожна гармонічна функція U може бути розглянута як дійсна частина аналітичної функції, то за допомогою цієї формули виражається значення будь-якої гармонійної функції усередині кола через її граничні значення.

Зауважимо ще, що ми отримаємо з формули (3) часткові похідні функції U відносно r і $\psi$ (або х і у) для внутрішньої точки кола, якщо продифференціюємо вираз, що стоїть під знаком інтеграла.

Формула (3) Пуассона найпростіший вигляд має при r=0:

$U(0)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }U(R,\psi )d\psi$

тобто значення гармонічної функції у центрі кола дорівнює середньому арифметичному її значень на

межі цього кола.

Джерела

И.И. Привалов. Введение в теорию функций комплексной переменной. - Москва "Наука", 1984

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.