Аналітична функція

Однозначна функція ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ називається аналітичною в точці ${\displaystyle \displaystyle z_{0}}$, якщо вона розкладається в ряд Тейлора в околі з центром у цій точці, і цей розклад збігається до функції ${\displaystyle \displaystyle f}$ (в цьому околі). Тобто це функції, які можуть бути виражені степеневими рядами.

Дійсна функція ${\displaystyle \displaystyle f(x)}$ дійсного аргументу ${\displaystyle \displaystyle x}$ називається аналітичною функцією у точці ${\displaystyle \displaystyle x}$ числової осі, якщо можна вказати такий окіл ${\displaystyle \displaystyle (x_{0}-h,x_{0}+h)}$ точки ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$, в якому ${\displaystyle \displaystyle f(x)}$ визначена і може бути виражена формулою виду:

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{a_{k}(x-x_{0})^{k}}}$

де ${\displaystyle \displaystyle a_{k}}$ — дійсні числа.

Можна показати, що ${\displaystyle \displaystyle a_{0}=f(x_{0})}$, ${\displaystyle \displaystyle a_{k}={1 \over {k!}}{f^{k}(x_{0})}}$, де ${\displaystyle \displaystyle k=1,2,3,4,\dots }$

(Дивись Тейлора ряд).

Функція, аналітична в кожній точці інтервалу ${\displaystyle \displaystyle (a,b)}$, називається аналітичною функцією на цьому інтервалі. Така функція необмежено диференційована на ${\displaystyle \displaystyle (a,b)}$, але обернене твердження взагалі не має сили, як показує хоч би приклад функції

${\displaystyle f(x)=10^{1 \over x^{2}}\ \ (-1<x<1)}$

${\displaystyle f^{k}(0)=\lim _{n\to 0}{f^{k}(x)}=0\qquad \ (k=1,2,3,4,\dots )}$

де

що

не є А. ф. у точці x = 0.

Аналогічно визначається дійсна аналітична функція кількох дійсних аргументів. Усі ці визначення без принципових ускладнень поширюються і на комилексно-значні функції.

Функцію ${\displaystyle \displaystyle f(z)}$ комплексного аргументу ${\displaystyle \displaystyle z=x+iy}$ називається аналітичною функцією від ${\displaystyle \displaystyle z}$ у точці ${\displaystyle \displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ комплексної числової площини, якщо ${\displaystyle \displaystyle f(z)}$ визначена в певному круговому околі ${\displaystyle \displaystyle (z-z_{0})<\rho }$ точки ${\displaystyle \displaystyle z_{0}}$ і може бути виражена в цьому околі формулою виду:

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{a_{k}(z-z_{0})^{k}}}$

де ${\displaystyle \displaystyle a_{k}}$ — певні комплексні числа.

Можна показати, що

${\displaystyle \displaystyle a_{0}=f(z_{0})\ \qquad }$, ${\displaystyle \displaystyle a_{k}={1 \over {k!}}{f^{k}(z_{0})},\ \ (z=1,2,3,4,\dots )}$

(див. Тейлора ряд).

Функція, аналітична в кожній точці якоїсь області ${\displaystyle G}$ комплексної числової площини, називається аналітичною в області ${\displaystyle \displaystyle G}$.

Виявляється, що аналітичність ${\displaystyle \displaystyle f(z)}$ в області ${\displaystyle \displaystyle G}$ є наслідком звичайної її диференційовності в ${\displaystyle \displaystyle G}$. Аналітична функція кількох комплексних аргументів визначають аналогічно. Аналітичні в області ${\displaystyle \displaystyle G}$ функції тісно пов'язані з гармонічними функціями в цій області, що часто зустрічаються при розв'язуванні так званих плоских задач математичної фізики. Цим в основному пояснюється і важливе застосовне значення самих аналітичних функцій.