Інтерполяційна формула Брамагупти

Віршований опис цієї формули на санскриті міститься у додатковій частині «Кхандакхадьяки» — праці, завершеної Брамагуптою у 665 році[1]. Такий же куплет є і у більш ранній праці «Дхьяна-граха-адхикара», точна дата створення якої не встановлена. Однак внутрішній взаємозв'язок робіт дозволяє припустити, що вона була створена раніше від завершеної у 628 році основної праці вченого — «Брахма-спхута-сіддханта», тому час створення інтерполяційної формули другого порядку може бути віднесений до першої чверті VII століття[1]. Брамагупта був першим в історії математики, хто записав і використовував формулу в скінченних різницях другого порядку[2][3].

Формула Брамагупти збігається з інтерполяційною формулою другого порядку Ньютона, котра була записана (повторно виведена) через понад тисячу років.

Будучи астрономом, Брамагупта був зацікавлений в отриманні точних значень синуса на основі невеликої кількості відомих табульованих значень цієї функції. Отже, перед ним стояла задача знайти величину ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle x_{r}<x<x_{r+1}}$ за наявними у таблиці значеннями функції:

${\displaystyle x}$	${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle x_{2}}$	…	${\displaystyle x_{r}}$	${\displaystyle x_{r+1}}$	${\displaystyle x_{r+2}}$	…	${\displaystyle x_{n}}$
${\displaystyle f(x_{r})}$	${\displaystyle f_{1}}$	${\displaystyle f_{2}}$	…	${\displaystyle f_{r}}$	${\displaystyle f_{r+1}}$	${\displaystyle f_{r+2}}$	…	${\displaystyle f_{n}}$

За умови, що значення функції обчислені у точках з однаковим кроком ${\displaystyle h}$, (${\displaystyle x_{r+1}-x_{r}=h}$ для усіх ${\displaystyle r}$), Аріабхата запропонував використовувати для розрахунків (табличні) перші скінченні різниці:

${\displaystyle D_{r}=f_{r+1}-f_{r}}$

Математики до Брамагупти використовували очевидну формулу лінійної інтерполяції

${\displaystyle f(x)=f_{r}+tD_{r}}$,

де ${\displaystyle t=(x-x_{r})/h}$.

Брамагупта замінив у цій формулі ${\displaystyle D_{r}}$ функцією другого порядку від скінченних різниць, що дозволило отримувати точніші значення інтерпольованої функції.

У термінології Брамагупти різниця ${\displaystyle D_{r-1}}$ називається минулий відрізок (गत काण्ड), ${\displaystyle D_{r}}$ називається корисний відрізок (भोग्य काण्ड). Довжина відрізка ${\displaystyle x-x_{r}}$ до точки інтерполювання в мінутах називається обрубком (विकल). Новий вираз, що має замінити ${\displaystyle D_{r}}$ називається правильним корисним відрізком (स्फुट भोग्य काण्ड). Обчислення правильного корисного відрізка описане у куплеті[4][1]:

Згідно з коментарем Бхуттопали (X століття) вірші перекладаються так[1][5]:

Помнож обрубок на піврізницю корисного і минулого відрізків та поділи результат на 900. Додай результат до півсуми корисного й минулого відрізків, якщо ця півсума є меншою за корисний відрізок. Якщо є більшою, то відніми. Отримаєш правильну корисну різницю[6].

900 мінут (15 градусів) — це інтервал ${\displaystyle h}$ між аргументами табличних значень синуса, якими користувався Брамагупта.

У сучасних позначеннях алгоритм обчислень Брамагупти виражається формулами:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f_{r}+t({\frac {D_{r}+D_{r-1}}{2}}+t{\frac {D_{r}-D_{r-1}}{2}})\\&=f_{r}+t{\frac {D_{r}+D_{r-1}}{2}}+t^{2}{\frac {D_{r}-D_{r-1}}{2}}.\end{aligned}}}$

Це інтерполяційна формула Ньютона другого порядку[7][8].

Невідомо як Брамагупта отримав цю формулу[1]. В наш час такі формули отримують розкладанням функцій ${\displaystyle f(x+kh),k=1,2,...}$ у ряд Тейлора. Однак довести формулу можна й елементарними методами: після заміни ${\displaystyle t=(x-x_{r})/h}$ формула Брамагупти задає параболу, що проходить через три точки ${\displaystyle (x_{r-1},f_{r-1}),(x_{r},f_{r}),(x_{r+1},f_{r+1})}$. Для виведення цієї формули достатньо знайти коефіцієнти рівняння цієї параболи за допомогою вирішення системи трьох лінійних рівнянь, що визначаються цими точками.

Комп'ютерний розрахунок показує, що на основі таблиці із 7-ми значень синуса у вузлах з кроком у 15°, Брамагупта міг обчислювати цю функцію с максимальною похибкою не більшою від 0,0012 і середньою похибкою, що не перевищує 0,00042.

• Многочлен Ньютона
• Ряд Тейлора