Ряд Тейлора

Ряд Тейлора дійсної або комплексної функції ${\displaystyle f(x)}$, яка є гладкою при дійсному або комплексному числі ${\displaystyle a}$, є степеневим рядом

${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots ,}$

який може бути записаний в компактному сума-записі:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n},}$

де ${\displaystyle n!}$ означає факторіал ${\displaystyle n}$ і ${\displaystyle f^{(n)}(a)}$ означає ${\displaystyle n}$-ну похідну від ${\displaystyle f}$, оціненої в точці ${\displaystyle a}$. Похідна нульового порядку ${\displaystyle f}$ визначається як сама по собі ${\displaystyle f}$ тому, що ${\displaystyle (x-a)^{0}}$ і ${\displaystyle 0!}$ -рівні ${\displaystyle 1}$. При ${\displaystyle a=0}$ ряд також називають рядом Маклорена.

Ряд Маклорена для будь-якого многочлена є самим многочленом. Ряд Маклорена ${\displaystyle (1-x)^{-1}}$ — геометрична прогресія:

${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!}$

так що ряд Тейлора для ${\displaystyle x^{-1}}$ при ${\displaystyle a=1}$ є

${\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .\!}$

Об'єднуючи вищий ряд Маклорена, ми знаходимо ряд Маклорена для ${\displaystyle \log(1-x)}$, де ${\displaystyle \log }$ означає натуральний логарифм:

${\displaystyle -x-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{4}}x^{4}-\cdots \!}$

і відповідний ряд Тейлора для ${\displaystyle \log(x)}$ при ${\displaystyle a=1}$

${\displaystyle (x-1)-{\frac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\frac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\frac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots ,\!}$

і в загальнішому плані, відповідний ряд Тейлора для ${\displaystyle \log(x)}$ в деякі ${\displaystyle a=x_{0}}$ є:

${\displaystyle \log(x_{0})+{\frac {1}{x_{0}}}(x-x_{0})-{\frac {1}{x_{0}^{2}}}{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2}}+\cdots .}$

ряд Тейлора для показникової функції ${\displaystyle e^{x}}$ при ${\displaystyle a=0}$ є

${\displaystyle 1+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots \!=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$

Вище розкладання справедливе, оскільки похідна ${\displaystyle e^{x}}$ по ${\displaystyle x}$ також ${\displaystyle e^{x}}$ і ${\displaystyle e^{0}}$ дорівнюють ${\displaystyle 1}$. Це залишає вирази ${\displaystyle (x-0)^{n}}$ у чисельнику і ${\displaystyle n!}$ у знаменнику для кожного члена у нескінченній сумі.

Грецький філософ Зенон розглядав проблему знаходження нескінченного ряду для досягнення кінцевого результату, але відхилив його як неможливе: результатом був парадокс Зенона. Пізніше Арістотель запропонував філософський розв'язок парадоксу, але математичний зміст очевидно не було розв'язано, поки не був отриманий Архімедом, як це було зроблено до Арістотеля атомістом Демокрітом. Саме завдяки методу вичерпування Архімеда, нескінченне число прогресивних підрозділів може бути виконане для досягнення кінцевого результату.[1] Лю Хуей залежно використав аналогічний метод декілька століть потому.[2]

Уперше використав ряди Тейлора і тісно пов'язані з ними методи у 14-му столітті Мадхаве з Сандамаграми.[3][4] Хоча жоден звіт про його роботу не уцілів, праці пізніх індійських математиків свідчать про те, що він виявив ряд особливих випадків ряду Тейлора, у тому числі для тригонометричних функцій синуса, косинуса, тангенса і арктангенса. Керальска школа астрономії і математики надалі розвивала його роботи з різними рядами розширення і раціональних наближень до 16-го століття.

У 17-му столітті, Джеймс Грегорі також працював в цій області і опублікував декілька рядів Маклорена. Цього не було до 1715 року, проте, загальний метод побудови цих рядів для усіх функцій, для яких вони існують, нарешті, був наданий Бруком Тейлором[5], після якого тепер так i називаються ряди. Ряд Маклорена було названо на честь Коліна Маклорена, професора з Единбургу, який опублікував спеціальний випадок ряду Тейлора у 18-му столітті.

Функція ${\displaystyle e^{\frac {-1}{x^{2}}}}$ не є аналітичної в точці ${\displaystyle x=0}$: ряд Тейлора тотожно дорівнює ${\displaystyle 0}$, а функція не тотожно дорівнює ${\displaystyle 0}$.

Якщо ${\displaystyle f(x)}$ задається збіжним степенним рядом у відкритому колі (або в інтервалі дійсної прямої) з центром в точці ${\displaystyle b}$ в комплексній площині, вона називається аналітичною в цьому колі. Таким чином, для ${\displaystyle x}$ в цьому колі ${\displaystyle f}$ визначається збіжним степенним рядом

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-b)^{n}.}$

Диференціюючи по ${\displaystyle x}$ наведені вище формули ${\displaystyle n}$ кількість разів, та підставляючи ${\displaystyle x=b}$ маємо:

${\displaystyle {\frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n}}$

таким чином, функція є аналітичною в відкритому колі з центром в точці ${\displaystyle b}$, тоді і тільки тоді, коли її ряд Тейлора збігається до значення функції в кожній точці кола.

Якщо ${\displaystyle f(x)}$ дорівнює її ряду Тейлора для всіх ${\displaystyle x}$ в комплексній площині, вона називається цілою. Многочлени, експоненціальна функція ${\displaystyle e^{x}}$ і тригонометричні функції синус і косинус, є прикладами цілих функцій. Функцій, такі як квадратний корінь, логарифм, тригонометричні функції тангенс, і зворотний, арктангенс. Для цих функцій ряд Тейлора не збігається, якщо ${\displaystyle x}$ далеко від ${\displaystyle b}$. Тобто, ряд Тейлора розбігається в точці ${\displaystyle x}$, якщо відстань між ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle b}$ більше, ніж радіус збіжності. Ряд Тейлора можна використовувати для обчислення значення цілої функції в кожній точці, якщо значення функції і всіх її похідних відомі в одній точці.

Використання ряду Тейлора для аналітичних функцій включає в себе:

1. Часткові суми (поліноми Тейлора) рядів можуть бути використані як наближення всієї функції. Ці наближення є більш точними, якщо включено досить багато членів.
2. Диференціювання та інтегрування степенних рядів можна виконати почленно і, отже, досить легко.
3. Аналітична функція однозначно продовжується до голоморфної функції на відкритому колі в комплексній площині. Це робить механізм комплексного аналізу доступним.
4. (Усіченні) ряди можна використовувати для обчислення значень функції чисельно (часто переробляючи поліном в форму Чебишева і його оцінку з алгоритмом Кленшава).
5. Алгебраїчні операції легко проводити над функціями, які представлені у вигляді степенних рядів; наприклад, формула Ейлера випливає з розкладу ряду Тейлора для тригонометричних і показових функцій. Цей результат має фундаментальне значення в таких областях, як гармонічний аналіз.
6. Апроксимація з використанням декількох перших членів ряду Тейлора в іншому випадку може зробити нерозв'язні проблеми розв'язними для обмеженої області; цей підхід часто використовується у фізиці.

Синусоїда (синій) добре апроксимується її многочленом Тейлора степеня 7 (рожевий) протягом всього періоду з центром на початку координат.

Многочлени Тейлора для ${\displaystyle \log(1+x)}$ забезпечують точні наближення тільки в діапазоні ${\displaystyle -1<x<1}$. Зауважимо, що при ${\displaystyle x>1}$, многочлени Тейлора більш високого степеня є поганим наближенням.

Наближення Тейлора для ${\displaystyle \log(1+x)}$ (чорний). При ${\displaystyle x>1}$, наближення розбігається.

Зображений справа графік є точним наближенням ${\displaystyle \sin(x)}$ навколо точки ${\displaystyle x=0}$. Рожева крива являє собою многочлен сьомої степені:

${\displaystyle \sin \left(x\right)\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.\!}$

Помилка в цьому наближенні не більше ніж ${\displaystyle {\frac {x^{9}}{9!}}}$.Зокрема При ${\displaystyle -1<x<1}$ помилка менше, ніж ${\displaystyle 0.000003}$.

На противагу цьому, також показана картинка функції натурального логарифма ${\displaystyle \log(1+x)}$ і деякі з його многочленів Тейлора навколо ${\displaystyle a=0}$. Ці наближення сходяться до функції тільки в області ${\displaystyle -1<x<1}$; за межами цієї області у вищих степенях Тейлора многочлени гірше наближені до функції. Це схоже на феномен Рунге.

Многочлен Тейлора називається залишком або різницею і позначається функцією ${\displaystyle R_{n}(x)}$. Теорема Тейлора може бути використана для отримання обмеження на розмір залишку.

Загалом, ряд Тейлора взагалі не повинен бути таким, щоб збігатися. І справді множина функцій зі збіжними рядами Тейлора є множиною міри нуль в просторі Фреше гладких функцій. І навіть якщо ряд Тейлора функції ${\displaystyle f}$ дійсно сходиться, в загальному випадку її межа не повинна дорівнювати значенню функції ${\displaystyle f(x)}$. Наприклад, функція

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{if }}x\not =0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$

нескінченно диференційована в точці ${\displaystyle x=0}$, і має всі похідні рівні нулю. Отже, ряд Тейлора ${\displaystyle f(x)}$ при ${\displaystyle x=0}$ тотожно дорівнює нулю. Проте, ${\displaystyle f(x)}$ не нульовий функція, так що її ряд Тейлора не дорівнює значенню функції навколо початку координат. Таким чином, ${\displaystyle f(x)}$ є прикладом неаналітичної гладкої функції.

В аналізі функцій дійсної змінної, цей приклад показує, що існує нескінченно диференційовані ${\displaystyle f(x)}$, при яких ряди Тейлора не рівні ${\displaystyle f(x)}$, навіть якщо вони збігаються. На противагу цьому, голоморфні функції, які вивчаються в комплексному аналізі, завжди володіють збіжними рядами Тейлора, і навіть ряд Тейлора мероморфних функцій, які можуть мати особливості, ніколи не збігаються до значень, відмінною від самої функції. Комплексна функція ${\displaystyle e^{-z^{-2}}}$, однак, не наближається до ${\displaystyle 0}$, коли ${\displaystyle z}$ наближається до ${\displaystyle 0}$ вздовж уявної осі, так що вона не є неперервною в комплексній площині і її ряд Тейлора є невизначеним при ${\displaystyle 0}$.

У більш загальному сенсі, будь-яка послідовність дійсних або комплексних чисел може з'явитися як коефіцієнти в ряді Тейлора нескінченно диференційованої функції, заданої на дійсній прямий, внаслідок леми Бореля. В результаті радіус збіжності ряду Тейлора може дорівнювати нулю. Є навіть нескінченно диференційовані функції, визначеної на дійсній прямій, ряд Тейлора якої всюди має радіус збіжності ${\displaystyle 0}$.[6]

Деякі функції не можуть бути записані у вигляді ряду Тейлора, тому що вони мають особливість; в цих випадках часто можна досягти розширення ряду, якщо воно дозволяє також негативні степеня змінної ${\displaystyle x}$; див. ряд Лорана. Наприклад, ${\displaystyle f(x)=e^{-x^{-2}}}$ можна записати у вигляді ряду Лорана.

Див. також список математичних рядів

Дійсна частина косинусу в комплексній площині.

Наближення восьмого степеня для косинусу в комплексній площині.

Дві вищезгадані поверхні разом.

Слідують декілька важливих розкладів в ряду Маклорена.[9] Всі ці розкладання справедливі для комплексних аргументів ${\displaystyle x}$.

Експоненціальна функція:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }$

Натуральний логарифм:

${\displaystyle \log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}},\quad |x|<1}$

${\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}},\quad |x|<1}$

Геометричний ряд і його похідні (див. статтю для варіантів):

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n},\quad |x|<1\!}$

${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1},\quad |x|<1\!}$

${\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }nx^{n},\quad |x|<1\!}$

${\displaystyle {\frac {2}{(1-x)^{3}}}=\sum _{n=2}^{\infty }(n-1)nx^{n-2},\quad |x|<1\!}$

${\displaystyle {\frac {2x^{2}}{(1-x)^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }(n-1)nx^{n},\quad |x|<1\!}$

Біноміальний ряд (включає в себе квадратний корінь при ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$ і нескінченної геометричної прогресії при ${\displaystyle \alpha =-1}$):

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n},\quad |x|<1}$

з узагальненими біноміальними коефіцієнтами

${\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.}$

Наприклад, з першими кількома членами виписуються в явному вигляді для загальних квадратних кореневих випадків:

${\displaystyle (1+x)^{0.5}=\textstyle 1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots }$

${\displaystyle (1+x)^{-0.5}=\textstyle 1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots }$

Тригонометричні функції:

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots }$

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots }$

${\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots ,\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

${\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n},\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

${\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1},\quad |x|\leq 1\!}$

${\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1},\quad |x|\leq 1\!}$

${\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1},\quad |x|\leq 1,x\not =\pm i\!}$

Гіперболічні функції:

${\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots }$

${\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$

${\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

${\displaystyle \mathrm {arsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1},\quad |x|\leq 1\!}$

${\displaystyle \mathrm {artanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad |x|\leq 1,x\not =\pm 1\!}$

Числа ${\displaystyle B_{k}}$, що виникають при підсумовуванні розкладання ${\displaystyle \tan(x)}$ і ${\displaystyle \tanh(x)}$ є числа Бернуллі. ${\displaystyle E_{k}}$ в розкладанні ${\displaystyle \sec(x)}$ є числами Ейлера.

Формула Тейлора використовується при доведенні багатьох теорем у диференціальному численні. Якщо говорити нестрого, то формула Тейлора відображає поведінку функції в околі деякої точки.

Теорема:

• Нехай функція ${\displaystyle \ f(x)}$ має ${\displaystyle \ n+1}$ похідну в деякому околі точки ${\displaystyle \ a}$, ${\displaystyle \ U(a,\varepsilon )}$
• Нехай ${\displaystyle \ x\in U(a,\varepsilon )}$
• Нехай ${\displaystyle \ p}$ — довільне додатне число

тоді: ${\displaystyle \exists \xi \in (x,a)}$ при ${\displaystyle \ x<a}$ або ${\displaystyle \ \xi \in (a,x)}$ при ${\displaystyle \ x>a}$:

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}+\left({x-a \over x-\xi }\right)^{p}{(x-\xi )^{n+1} \over n!p}f^{(n+1)}(\xi )}$

Це формула Тейлора із залишковим членом у загальній формі.

Ряд Тейлора названий на честь англійського математика Брука Тейлора, який відкрив його в період між 1712 і 1715 роками.

• Ряд Фур'є

• В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов «Математический Анализ» ч.1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов, изд.:Проспект 2004
• С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.

• Формула Тейлора // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 277. — 594 с.
• Розклад функцій в ряди Тейлора // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 525. — 594 с.
• Розклад функції в ряд Маклорена // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 526. — 594 с.