Брамагупта

В своїй праці «Брахма-спхута-сіддханта» Брамагупта дав означення нуля як результату віднімання з числа самого числа. Він одним з перших встановив правила арифметичних операцій над додатними і від'ємними числами та нулем, розглядаючи при цьому додатні числа як майно, а від'ємні числа як борг. Далі Брамагупта намагався розширити арифметику давши означення ділення на нуль. Згідно з Брамагуптою[5]:

• Ділення нуля на нуль є нулем;
• Ділення додатного або від'ємного числа на нуль є дробом з нулем у знаменнику;
• Ділення нуля на додатне або від'ємне число дає нуль.

Тотожність Брамагупти стверджує, що добуток двох сум двох квадратів саме є сумою двох квадратів, причому двояким чином.

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}.}$

Наприклад,

${\displaystyle (1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^{2}.}$

Нехай є вписаний чотирикутник, діагоналі якого взаємно перпендикулярні. Опустимо з точки перетину діагоналей перпендикуляр на одну з його сторін. Якщо продовжити його по інший бік від точки перетину діагоналей, цей перпендикуляр ділить протилежну сторону чотирикутника на дві рівні частини[9].

Формула Брамагупти є узагальненням формули Герона для площі трикутника на випадок чотирикутника, вписаного у коло. А саме, площа S вписаного у коло чотирикутника зі сторонами a, b, c, d і півпериметром p дорівнює

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.}$

Відома ще одна формула Брамагупти для радіуса описаного кола довільного трикутника:

${\displaystyle R={\frac {ab}{2h_{c}}}={\frac {bc}{2h_{a}}}={\frac {ac}{2h_{b}}},}$

де a, b, c — сторони трикутника, ${\displaystyle h_{a}}$, ${\displaystyle h_{b}}$ та ${\displaystyle h_{c}}$ — його висоти.

Задача Брамагупти — побудувати за допомогою циркуля та лінійки вписаний чотирикутник за чотирма його сторонами[10]. Одне з рішень використовує кола Аполлонія.

Одне з перших відомих виведень формули для знаходження коренів квадратного рівняння належить Брамагупті[11]. Він першим запропонував універсальне правило знаходження коренів рівняння, зведеного до канонічного вигляду ${\displaystyle ax^{2}+bx=c}$. При цьому передбачалося, що в ньому усі коефіцієнти, крім ${\displaystyle a,}$ можуть бути від'ємними. Сформульоване ученим правило за своєю суттю збігається із сучасним.

У своїх наукових працях Брамагупта запропонував інтерполяційну формулу другого порядку, що є частковим випадком виведеної більше ніж через 1000 років по тому інтерполяційної формули Ньютона — Стірлінга. Він використовував її для інтерполяції значень синуса у складених ним тригонометричних таблицях[12]. Формула дає оцінку значення функції f при значенні її аргумента a + xh (при h > 0 та −1 ≤ x ≤ 1), коли її значення уже відоме у точках a − h, a та a + h. Вона записується так:

${\displaystyle f(a+xh)\approx f(a)+x\left({\frac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}}\right)+{\frac {x^{2}\Delta ^{2}f(a-h)}{2!}},}$

де Δ — оператор висхідної скінченної різниці першого порядку, тобто

${\displaystyle \Delta f(a)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f(a+h)-f(a).}$

Основна праця Брамагупти, «Брахма-спхута-сіддханта» (628), містить 25 розділів:

1. Про стан земної кулі і форму неба та землі.
2. Про обертання світил і про визначення часу; про те, як знаходити середні положення світил; про визначення синуса дуги.
3. Про складання таблиці світил.
4. Про три проблеми, а саме: про тіні, про частину дня, що минула, і про гороскопи; а також про те, як виводити одне з них з іншого.
5. Про те, як світила з'являються через промення Сонця і як вони ховаються за ними.
6. Про те, як показується молодий місяць, і про його два роги.
7. Про затемнення Місяця.
8. Про затемнення Сонця.
9. Про тіні Місяця.
10. Про з'єднання та протистоянні світил.
11. Про широти світил.
12. Про критику того, що міститься у книгах та таблицях, і про розрізнення правильного від неправильного.
13. Про арифметику та її застосування в обчисленні відстаней і в інших випадках.
14. Про уточнення середнього положення світил.
15. Про виправлення таблиці світил.
16. Про точне дослідженні трьох проблем.
17. Про відхилення затемнень.
18. Про точне визначення появи молодого місяця і його двох рогів.
19. Про метод «Куттак».
20. Про розрахунки у розмірах віршів та метриці.
21. Про кола та інструменти.
22. Про чотири виміри часу — по Сонцю, по сходу, по Місяцю і по місячним станціям.
23. Про знаки для чисел і цифр у віршованих творах з цього предмету.
24. Про докази, що не використовують математику.

«Брахма-спхута-сіддханта» була перекладена арабською у 771 році математиком і філософом Ібрахімом аль-Фазарі. Переклад, який було виконано у вигляді таблиць — Зіджа — з необхідними поясненнями та рекомендаціями, отримав назву «Великий Сіндхінд». Відомо, що цією роботою користувався перський математик аль-Хорезмі (770—850) для написання своїх праць з астрономії («Зідж аль-Хорезмі») та арифметики («Книга про індійську арифметику»). Вважається, що переклад останньої у XI століття латинською відіграв вирішальну роль в поширенні позиційної системи числення[15][16].

«Брахма-спхута-сіддханта» була перекладена китайськими математиками VII—IX ст. (відомо принаймні чотири переклади), що дозволило поширити десяткову систему серед китайських вчених[2]. У 1817 році дві математичні глави були перекладені англійською Генрі Томасом Колбруком[7].

Друга наукова праця Брамагупти, «Кхандакхадьяка» (665), також є фундаментальною працею з астрономії[17]. Вона містить 8 глав. У цій роботі Брамагупта уточнив й спростив низку методик астрономічних розрахунків, користуючись багато у чому системою, запропонованою Аріабхатою[18]. Крім цього, вона включає інтерполяційну формулу для обчислення синусів[5]. У VIII столітті «Кхандакхадьяка» була перекладена арабською під назвою «Арканд»[18].

Коментарі до Кхандакхадьяки були написані у 864, 966, 1040, 1180 роках, деякі з них не збереглись. Сама книга була надрукована в Калькутті у 1925 та 1941 роках. Переклад англійською зробив Сенгупта (англ. Prabodh Chandra Sengupta) у 1934 році[7].