Аксіоматика Біркгофа
Аксіоматика Джорджа Біркгофа — це система із чотирьох аксіом евклідової геометрії. У формулюванні аксіом використовується поняття дійсного числа. Тому аксіоматика Біркгофа нагадує введення евклідової геометрії за допомогою моделі.
Історія
Біркгоф брав участь у написанні шкільного підручника з використанням цієї системи аксіом. Ця система вплинула на ту систему аксіом, яка була розроблена School Mathematics Study Group для американської школи.
Аксіоми
Аксіома І. Множина точок на довільній прямій допускає бієкцію на множину дійсних чисел , причому так, що для всіх точок А і В.
Аксіома ІІ. Існує одна і тільки одна пряма ℓ, якій належать довільні дві різні точки Р та Q.
Аксіома ІІІ. Множина променів {ℓ, , ,…} з початком в будь-якій точці O допускає бієкцію на множину дійсних чисел по модулю 2 так, що коли A та B - точки (відмінні від О) на променях ℓ і m відповідно, то різниця для променів ℓ та m дорівнює . Крім того, якщо точка B на m рухається неперервно вздовж прямої p, яка не містить вершину О, то число також змінюється неперервно.
Аксіома ІV. Припустимо, що два трикутника ABC та A'B'C' такі, що , для деякого дійсного числа k > 0 та , тоді , , .
Посилання
- Birkhoff, George David (1932), «A Set of Postulates for Plane Geometry (Based on Scale and Protractors)», Annals of Mathematics Т. 33: 329—345
- Birkhoff, George David & Beatley, Ralph (2000), Basic Geometry (3rd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2101-5