Аксіоматика Біркгофа

Біркгоф брав участь у написанні шкільного підручника з використанням цієї системи аксіом. Ця система вплинула на ту систему аксіом, яка була розроблена School Mathematics Study Group для американської школи.

Аксіома І. Множина точок ${\displaystyle \{A,B,...\}}$ на довільній прямій допускає бієкцію на множину дійсних чисел ${\displaystyle \{a,b,...\}}$, причому так, що ${\displaystyle |AB|=|b-a|}$  для всіх точок А і В.

Аксіома ІІ. Існує одна і тільки одна пряма ℓ, якій належать довільні дві різні точки Р та Q.

Аксіома ІІІ. Множина променів {ℓ, , ,…} з початком в будь-якій точці O допускає бієкцію на множину дійсних чисел по модулю 2${\displaystyle \pi }$ так, що коли A та B - точки (відмінні від О) на променях ℓ і m відповідно, то різниця  ${\displaystyle a_{m}-a_{l}(mod2\pi )}$ для променів ℓ та  m дорівнює ${\displaystyle \angle AOB}$. Крім того, якщо точка B на m рухається неперервно вздовж прямої p, яка не містить вершину О, то число  ${\displaystyle a_{m}}$ також змінюється неперервно.

Аксіома ІV. Припустимо, що два трикутника ABC та A'B'C' такі, що ${\displaystyle |A'B'|=k|AB|}$,  ${\displaystyle |A'C'|=k|AC|}$ для деякого дійсного числа k > 0  та ${\displaystyle \angle B'A'C'=\pm \angle BAC(mod2\pi )}$, тоді ${\displaystyle |B'C'|=k|BC|}$, ${\displaystyle \angle A'C'B'=\pm \angle ACB(mod2\pi )}$, ${\displaystyle \angle C'B'A'=\pm \angle CBA(mod2\pi )}$.

Аксіоматика Гільберта

Аксіоматика Колмогорова

Аксіоматика Александрова

1. Birkhoff, George David (1932), «A Set of Postulates for Plane Geometry (Based on Scale and Protractors)», Annals of Mathematics Т. 33: 329—345
2. Birkhoff, George David & Beatley, Ralph (2000), Basic Geometry (3rd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2101-5