Аксіоматика Александрова (геометрія)

Олександр Данилович Александров до основних об'єктів планіметрії відносить точки та відрізки, а до основних відношень — «точка є кінцем відрізка», «точка належить відрізку», «рівність відрізків».

Перша група — аксіоми зв'язку.

• І₁. Аксіома існування. Існує хоча б один відрізок. Кожен відрізок має два і тільки два кінці. Крім того, відрізок містить інші точки, що належать відрізку.

• І₂. Аксіома проведення відрізка. Кожні дві точки можна з'єднати відрізком і при цьому тільки одним.

• І₃. Аксіома поділу відрізка. Кожна точка, що належить відрізку, ділить його на два відрізки, тобто, якщо точка ${\displaystyle C}$ належить відрізку ${\displaystyle AB}$, то вона ділить його на два відрізки ${\displaystyle AC}$ і ${\displaystyle BC}$, які не мають спільних внутрішніх точок.

• І₄. Аксіома з'єднання відрізків. Якщо точка ${\displaystyle C}$ належить відрізку ${\displaystyle AB}$, а ${\displaystyle B}$ — відрізку ${\displaystyle CD}$, то відрізки ${\displaystyle AB}$ та ${\displaystyle CD}$ утворюють відрізок ${\displaystyle AD}$.

Друга група — аксіоми рівності.

• ІІ₁. Аксіома відкладання відрізка. Для будь-яких двох відрізків ${\displaystyle AB}$ та ${\displaystyle MN}$ існує, причому єдиний, відрізок ${\displaystyle AC}$, рівний ${\displaystyle MN}$ та такий, що накладається на ${\displaystyle AB}$.
• ІІ₂. Аксіома порівняння. Два відрізка, рівні одному й тому ж відрізку, рівні один одному.
• ІІ₃. Аксіома додавання. Якщо точка ${\displaystyle C}$ належить відрізку ${\displaystyle AB}$, точка ${\displaystyle C_{1}}$ належить відрізку ${\displaystyle A_{1}B_{1}}$ та ${\displaystyle AC=A_{1}C_{1}}$, ${\displaystyle BC=B_{1}C_{1}}$, то ${\displaystyle AB=A_{1}B_{1}}$.

• ІІ₄. Аксіома Архімеда. Для будь-яких даних відрізків ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b=AB}$ існує відрізок ${\displaystyle AA_{n}}$, що містить ${\displaystyle AB}$, на якому є такі точки ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle A_{2}}$,…,${\displaystyle A_{n}}$, що відрізки ${\displaystyle AA_{1}}$, ${\displaystyle A_{1}A_{2}}$,…, ${\displaystyle A_{n-1}A_{n}}$ рівні ${\displaystyle a}$.

Третя група ― аксіома неперервності.

• ІІІ₁. Для будь-якої послідовності вкладених відрізків ${\displaystyle A_{1}B_{1}}$, ${\displaystyle A_{2}B_{2}}$…, існує точка, що належить всім цим відрізкам.

Четверта група — площинні аксіоми.

• ІV₁. Аксіома поділу площини. Стосовно кожного даного відрізка ${\displaystyle a}$ всі точки, що не лежать на жодному з відрізків, що містить ${\displaystyle a}$, діляться на два класи: в один клас входять точки, що лежать з однієї сторони від ${\displaystyle a}$, в другий — точки, що лежать по другу сторону від ${\displaystyle a}$, причому в кожному класі є точки.

• ІV₂. Аксіома відкладання кута. Від кожного відрізка по дану сторону від нього, від даного його кінця можна відкласти кут, рівний даному куту. (Кути рівні, якщо у них є рівні відповідні поперечини. Поперечиною називається відрізок з кінцями на сторонах кута. Відповідними поперечинами ${\displaystyle AB}$ та ${\displaystyle A_{1}B_{1}}$ кутів ${\displaystyle O}$ та ${\displaystyle O_{1}}$ називаються поперечини, для яких ${\displaystyle OA=O_{1}A_{1}}$ та ${\displaystyle OB=O_{1}B_{1}}$).

• ІV₃. Аксіома паралельних відрізків. Якщо відрізки ${\displaystyle AC}$ та ${\displaystyle BD}$ рівні та відкладені в одну сторону від відрізка ${\displaystyle AB}$ під прямим кутом, то ${\displaystyle CD=AB}$.

П'ята група ― просторові аксіоми.

• V₁. Аксіома площини. В просторі існують площини (фігури, для яких справедливі аксіоми планіметрії). Через кожні три точки простору проходить площина.
• V₂. Аксіома перетину площин. Якщо дві площини мають спільну точку, то їхнім перетином є їхня спільна пряма.
• V₃. Аксіома належності прямої площині. Якщо пряма проходить через дві точки даної площини, то вона лежить у цій площині.
• V₄. Аксіома розбиття простору площиною. Кожна площина розбиває простір на два півпростори.
• V₅. Аксіома відстані. Відстань між довільним двома точками простору не залежить від того, на якій площині, що містить ці точки, вона виміряна.

• Аксіоматика Гільберта
• Аксіоматика Колмогорова
• Список об'єктів, названих на честь Олександра Александрова

• Александров О. Д. Основания геометрии. — М.: Наука, 1987. — 288 с.
• Ілляшенко В. Я. Основи геометрії: Навч. посіб. для вищ. навч. закл. — Луцьк: РВВ «Вежа» Волин. нац. ун-ту ім. Лесі Українки, 2012. — 256 с.