Аксіоматика Александрова (геометрія)

Аксіоматика Александрова аксіоматика евклідової геометрії, запропонована російським математиком О. Александровим в книзі «Основи геометрії».

Неозначувані поняття

Олександр Данилович Александров до основних об'єктів планіметрії відносить точки та відрізки, а до основних відношень — «точка є кінцем відрізка», «точка належить відрізку», «рівність відрізків».

Аксіоми

Перша група аксіоми зв'язку.

  • І1. Аксіома існування. Існує хоча б один відрізок. Кожен відрізок має два і тільки два кінці. Крім того, відрізок містить інші точки, що належать відрізку.
  • І2. Аксіома проведення відрізка. Кожні дві точки можна з'єднати відрізком і при цьому тільки одним.
  • І3. Аксіома поділу відрізка. Кожна точка, що належить відрізку, ділить його на два відрізки, тобто, якщо точка належить відрізку , то вона ділить його на два відрізки і , які не мають спільних внутрішніх точок.
  • І4. Аксіома з'єднання відрізків. Якщо точка належить відрізку , а  — відрізку , то відрізки та утворюють відрізок .

Друга група аксіоми рівності.

  • ІІ1. Аксіома відкладання відрізка. Для будь-яких двох відрізків та існує, причому єдиний, відрізок , рівний та такий, що накладається на .
  • ІІ2. Аксіома порівняння. Два відрізка, рівні одному й тому ж відрізку, рівні один одному.
  • ІІ3. Аксіома додавання. Якщо точка належить відрізку , точка належить відрізку та , , то .
  • ІІ4. Аксіома Архімеда. Для будь-яких даних відрізків та існує відрізок , що містить , на якому є такі точки , ,…,, що відрізки , ,…, рівні .

Третя групааксіома неперервності.

  • ІІІ1. Для будь-якої послідовності вкладених відрізків , , існує точка, що належить всім цим відрізкам.

Четверта група площинні аксіоми.

  • ІV1. Аксіома поділу площини. Стосовно кожного даного відрізка всі точки, що не лежать на жодному з відрізків, що містить , діляться на два класи: в один клас входять точки, що лежать з однієї сторони від , в другий — точки, що лежать по другу сторону від , причому в кожному класі є точки.
  • ІV2. Аксіома відкладання кута. Від кожного відрізка по дану сторону від нього, від даного його кінця можна відкласти кут, рівний даному куту. (Кути рівні, якщо у них є рівні відповідні поперечини. Поперечиною називається відрізок з кінцями на сторонах кута. Відповідними поперечинами та кутів та називаються поперечини, для яких та ).
  • ІV3. Аксіома паралельних відрізків. Якщо відрізки та рівні та відкладені в одну сторону від відрізка під прямим кутом, то .

П'ята групапросторові аксіоми.

  • V1. Аксіома площини. В просторі існують площини (фігури, для яких справедливі аксіоми планіметрії). Через кожні три точки простору проходить площина.
  • V2. Аксіома перетину площин. Якщо дві площини мають спільну точку, то їхнім перетином є їхня спільна пряма.
  • V3. Аксіома належності прямої площині. Якщо пряма проходить через дві точки даної площини, то вона лежить у цій площині.
  • V4. Аксіома розбиття простору площиною. Кожна площина розбиває простір на два півпростори.
  • V5. Аксіома відстані. Відстань між довільним двома точками простору не залежить від того, на якій площині, що містить ці точки, вона виміряна.

Див. також

Посилання

  • Александров О. Д. Основания геометрии. — М.: Наука, 1987. — 288 с.
  • Ілляшенко В. Я. Основи геометрії: Навч. посіб. для вищ. навч. закл. — Луцьк: РВВ «Вежа» Волин. нац. ун-ту ім. Лесі Українки, 2012. — 256 с.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.