Алгебра вершинних операторів

Алгебри вершинних операторів вперше були введені Річардом Борхердсом в 1986 році. Мають важливе значення для теорії струн, конформній теорії поля і для суміжних областей фізики. Аксіоми алгебри вершинних операторів — це формальна алгебрична інтерпретація того, що фізики називають хіральною алгеброю.

Алгебри вершинних операторів виявилися корисними в чисто математичних напрямах, таких як геометрична відповідність Ленглендса.

Приклади

Ґратка Z в R дає супералгебру вершинних операторів, що відповідає одному комплексному фермиону. Це ще один спосіб формулювання бозона-ферміонної відповідності. Ферміонне поле ψ(z) і його спряжене поле ψ^†(z) визначаються виразом:

\psi (z)=\sum e_{n}z^{-n-1},\,\,\,\psi ^{\dagger }(z)=\sum e_{n}^{*}z^{n},\,\,\,\{e_{n},e_{m}\}=0,\,\,\,\{e_{m},e_{n}^{*}\}=\delta _{m,n}I.

Відповідність між ферміонами і одним зарядженим бозонним полем

\phi (z)=\sum a_{n}z^{-n-1},\,\,\,[a_{m},a_{n}]=m\delta _{n+m,0}I,\,\,Ua_{n}U^{-1}=a_{n}-\delta _{n,0}I

набуває вигляду

\phi (z)=\,:\,\psi ^{\dagger }(z)\psi (z)\,:

\psi (z)=U\,:\,\exp \,\int \phi (z)\,:

де нормальні експоненти інтерпретується як вершинні оператори.

Ґратка √2 Z in R дає алгебру вершинних операторів, відповідну аффінній алгебрі Каца — Муді для SU(2) на першому рівні. Вона реалізується полями

H(z)=\phi (z)\otimes I-I\otimes \phi (z)

E(z)=\psi (z)\otimes \psi ^{\dagger }(z)

F(z)=\psi ^{\dagger }(z)\otimes \psi (z)

Посилання

Borcherds, Richard (1986). Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 83: 3068–3071. Bibcode:1986PNAS...83.3068B. PMC 323452. PMID 16593694. doi:10.1073/pnas.83.10.3068.
Frenkel, Igor; Lepowsky, James; Meurman, Arne (1988). Vertex operator algebras and the Monster. Pure and Applied Mathematics 134. Academic Press. ISBN 0-12-267065-5.
Kac, Victor (1998). Vertex algebras for beginners. University Lecture Series 10 (вид. 2nd). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1396-X.
Frenkel, Edward; Ben-Zvi, David (2001). Vertex algebras and Algebraic Curves. Mathematical Surveys and Monographs (88). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2894-0.
Wang, Weiqiang (1993). Rationality of Virasoro vertex operator algebras. Duke Math. J. IMRN 71: 197–211.
Xu, Xiaoping (1998). Introduction to vertex operator superalgebras and their modules. Springer. ISBN 0792352424.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.