Ануїтет

Щоб описати ануїтет треба подати:

• період ренти (проміжок часу між послідовними платежами),
• кількість платежів ${\displaystyle n}$,
• величини платежів ${\displaystyle R_{j},j=1,...,n}$
• момент першого платежу,
• процентну ставку для періоду ренти ${\displaystyle i}$.

Вважається, що ануїтет триває від початку першого проміжку до кінця останнього, незалежно від того, в який момент проміжку відбувається платіж.

В ануїтеті постнумерандо ${\displaystyle j}$-ий платіж відбувається в момент ${\displaystyle j}$ рахуючи час у періодах ренти від початку першого з цих періодів.

	${\displaystyle R_{1}}$	${\displaystyle R_{2}}$		${\displaystyle R_{n}}$
платежі:	↑	↑		↑
	————	————	… … …	————
час:	1	2		n

В загальному випадку приведена вартість строкового ануїтету обчислюється як сума приведених вартостей всіх платежів.

${\displaystyle P=\sum _{j=1}^{n}R_{j}(1+i)^{-j}}$

.

Аналогічно, майбутня вартість ануїтету

${\displaystyle F=\sum _{j=1}^{n}R_{j}(1+i)^{n-j}}$

.

У випадку постійних платежів ${\displaystyle R_{j}\equiv R=const}$ праві сторони цих формул є сумами скінчених геометричних прогресій, що дозволяє позбутися сумування. Приведена вартість ануїтету з постійними платежами обчислюється за формулою

${\displaystyle P=R\cdot {\frac {1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}},}$

або, використовуючи означення актуарної математики,

${\displaystyle P=R\cdot a_{{\overline {n}}|i}}$

Величина ${\displaystyle a_{{\overline {n}}|i}={\frac {1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}}}$ називається множником (процентним фактором) приведеної вартості ануїтету.

Аналогічно, майбутня вартість ануїтету з постійними платежами

${\displaystyle F=R\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}},}$

або, використовуючи означення актуарної математики,

${\displaystyle F=R\cdot s_{{\overline {n}}|i}}$

Величина ${\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}={\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}}$ називається множником (процентним фактором) майбутньої вартості ануїтету.

В ануїтеті пренумерандо ${\displaystyle j}$-ий платіж відбувається в момент ${\displaystyle j-1}$, тобто, порівнюючи з ануїтетом постнумерандо, на один період раніше.

	${\displaystyle R_{1}}$	${\displaystyle R_{2}}$		${\displaystyle R_{n}}$
платежі:	↑	↑		↑
	————	————	… … …	————
час:	0	1		n-1

Внаслідок цього кожен платіж опроцентовується на один період довше, і у формулах для приведеної та майбутньої вартості з'являється додатковий множник ${\displaystyle (1+i)}$. Приведена вартість ануїтету пренумерандо з постійними платежами обчислюється за формулою

${\displaystyle P=R\cdot (1+i)\cdot {\frac {1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}},}$

або

${\displaystyle P=R\cdot {\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}}$

Величина ${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}=(1+i)\cdot {\frac {1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}}}$ називається множником (процентним фактором) приведеної вартості ануїтету пренумерандо.

Аналогічно, майбутня вартість ануїтету з постійними платежами

${\displaystyle F=R\cdot (1+i)\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}},}$

або

${\displaystyle F=R\cdot {\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}}$

Величина ${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}=(1+i)\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}}$ називається множником (процентним фактором) майбутньої вартості ануїтету пренумерандо.

При відомих платежах, процентній ставці та приведеній/майбутній вартості кількість платежів звичайного ануїтету визначається за формулами

${\displaystyle n=-{\frac {ln\left(1-{\frac {iP}{R}}\right)}{ln(1+i)}},}$

або

${\displaystyle n={\frac {ln\left(1+{\frac {iF}{R}}\right)}{ln(1+i)}},}$

Ануїтетні (рівні) платежі є однією з можливих схем сплати кредиту. Величина платежу визначається за формулами для ануїтету постнумерандо (за умови, що перший платіж відбудеться за один період після надання суми кредиту). Найчастішою альтернативою є тзв. стандартна (класична, лінійна) схема[2], відома також як диференційовані платежі.[3] В стандартній схемі основна сума боргу сплачується рівними частинами разом з поточними відсотками. Оскільки відсотки нараховуються від щоразу меншої суми боргу, то платежі з часом зменшуються. Перші платежі за цією схемою є значно більшими за ануїтетний платіж, останні — значно меншими.

Поширена думка, що сплата за ануїтетною схемою є значно дорожчою, базується на некоректних обчисленнях. Сума всіх платежів за ануїтетною схемою дійсно виходить більшою ніж відповідна сума при стандартній схемі, особливо при високій процентній ставці та довготерміновому кредиті. Однак, таке сумування платежів не враховує зміни вартості грошей у часі. Високі ставки часто пояснюються високою інфляцією, вартість грошей швидко падає. У стандартній схемі великі перші платежі сплачуються «дорогими» грошима, а малі платежі — знеціненими. Також при стандартній схемі великі перші платежі можуть бути не під силу боржнику.

• Рента страхова

• Ануїтетний калькулятор кредитів
• Ануїтетний платіж // Банківська енциклопедія / С. Г. Арбузов, Ю. В. Колобов, В. І. Міщенко, С. В. Науменкова. — Київ : Центр наукових досліджень Національного банку України : Знання, 2011. — 504 с. — (Інституційні засади розвитку банківської системи України). — ISBN 978-966-346-923-2.
• Ануїтетний платіж // Термінологічний словник з питань запобігання та протидії легалізації (відмиванню) доходів, одержаних злочинним шляхом, фінансуванню тероризму, фінансуванню розповсюдження зброї масового знищення та корупції / А. Г. Чубенко, М. В. Лошицький, Д. М. Павлов, С. С. Бичкова, О. С. Юнін. — Київ : Ваіте, 2018. — С. 65. — ISBN 978-617-7627-10-3.