Геометрична прогресія

Позначимо перший член b₁, а знаменник прогресії q. Тоді другий член b₂= b₁* q, третій — b₃= b₂* q= b₁* q², четвертий — b₄= b₃* q= b₁* q³, і так далі.

Тому вираз n-ного члена буде: b_n= b₁q^n-1

Знайдемо суму перших ${\displaystyle n}$ членів геометричної прогресії

${\displaystyle S_{n}=a(r^{0}+r^{1}+r^{2}+r^{3}+...+r^{n-1})\,}$

Помножимо та поділимо праву частину на ${\displaystyle (r-1)\,}$ (${\displaystyle r}$ не може бути 1), добуток ${\displaystyle (1+r+r^{2}+r^{3}+...+r^{n-1})\,}$ на ${\displaystyle (r-1)\,}$ дає ${\displaystyle (r^{n}-1)\,}$, оскільки решта елементів взаємно знищуються, звідси отримаємо:

${\displaystyle S_{n}=a\sum _{k=0}^{n-1}r^{k}=a{\frac {r^{n}-1}{r-1}}}$

Якщо ${\displaystyle \left|r\right|<1}$ і ${\displaystyle n\to \infty }$ то ${\displaystyle r^{n}\to 0}$, тоді: ${\displaystyle S_{n}\to {a \over 1-r}}$

Формула для суми геометричної прогресії також зручна для обрахунку відсотків по банківських вкладах. Припустимо, Ви кладете $2,000 в банк під 5 % річних. Скільки грошей Ви матимете на рахунку через 6 років?

2,000 · 1.05⁶ = 2680.19

Геометрична прогресія лежить на основі побудови рядів переважних чисел.

• Прогресія
• Регресія (статистика)
• Арифметична прогресія

• Елементарна математика. Алгебра. Новітні інформаційні технології навчання (Maple)/ В.М.Михалевич, А.Ф. Дода ; Вінниц. нац. техн. ун-. - Вінниця : ВНТУ, 2010

• Г. Корн и Т. Корн «Справочник по математике для научных работников и инженеров»