Афінна зв'язність

Нехай M є гладким многовидом і C^∞(M,TM) позначає простір векторних полів на M. Тоді афінна зв'язність на M це білінійне відображення

${\displaystyle {\begin{matrix}C^{\infty }(M,TM)\times C^{\infty }(M,TM)&\rightarrow &C^{\infty }(M,TM)\\(X,Y)&\mapsto &\nabla _{X}Y,\end{matrix}}}$

таке, що для будь-якої гладкої функції f ∈ C^∞(M,R) і будь-яких векторних полів X, Y на M:

1. ${\displaystyle \nabla _{fX}Y=f\nabla _{X}Y}$, тобто, ${\displaystyle \nabla }$ лінійно за першим аргументом;
2. ${\displaystyle \nabla _{X}(fY)=\mathrm {d} f(X)Y+f\nabla _{X}Y}$, тобто ${\displaystyle \nabla }$ задовольняє правилу Лейбніца за другою змінною.

• Крученням афінної зв'язності називається вираз

  ${\displaystyle U(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}$

тут ${\displaystyle [{*},{*}]}$ — дужки Лі

• Афінна зв'язність з нульовим крученням на рімановому многовиді, відносно якої метричний тензор коваріантного сталий, називається зв'язністю Леві-Чивіти.

• Афіна зв'язність, для якої виконується лише умова рімановості, називається рімановою зв'язністю.

• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — Любое издание.
• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — Новокузнецкий физико-математический институт. — Т. 1. — 344 с. — ISBN 5-80323-180-0.

• Символи Крістофеля.