Вейвлети Добеші

У загальному випадку, вибирають вейвлети Добеші, щоб мати найвище число зникаючих моментів А, (це не означає кращу плавність) для заданої ширини носія функції 2А-1.[1] Використовують дві схеми іменування, DN з використанням довжини, або кількості відводів та dbA з посиланням на число зникаючих моментів. Таким чином, D4 і db2 такі ж вейвлет-перетворення. Серед 2^A−1 можливих рішень алгебраїчних рівнянь для моменту і ортогональності умови, то вибирається рішення, у якого масштабуючий фільтр має екстремальну фазу. Вейвлет-перетворення також легко реалізувати на практиці за допомогою швидкого вейвлет-перетворення. Вейвлети Добеші широко використовуються при вирішенні широкого кола завдань, наприклад, самоподібні властивості сигналу, або фрактальні проблеми, сигнальні розриви і т. д. Вейвлети Добеші не визначені в термінах отриманого масштабування та вейвлет-функцій; насправді, їх не можливо записати в закритій формі. Графіки нижче генеруються з використанням алгоритму каскаду, числовий метод, що складається з простого зворотного перетворення [1 0 0 0 0 …] відповідну кількість разів.

масштабування і вейлет функції
діапозон частот спектра ціх функцій

Слід зазначити, що спектри, показані тут не частотна характеристика високих і низьких частот фільтрів, а скоріше амплітуди безперервних перетворень Фур'є масштабування (синій) і вейвлет-функцій (червоний) . Ортогональні вейвлети Добеші D2-D20 відповідно DB1-DB10 також використовуються. Номер індексу відноситься до числа N коефіцієнтів. Кожен вейвлет має число нульових моментів або зникаючих моментів, які рівні половині числу коефіцієнтів. Так, наприклад, D2 (Хаара вейвлет) має один зникаючий момент, D4 має два і т. д. Зникаючий момент обмежує здатність вейвлетів представляти поліноміальну поведінку, або інформацію в сигналі. Так, наприклад, D2, з одним моментом, легко кодує поліноми одного коефіцієнта, або постійні складові сигналу. D4 кодує поліноми з двома коефіцієнтами, тобто постійні та лінійні складові сигналу; і D6 кодує 3-поліноми, тобто постійні, лінійні та квадратичні складові сигналу. Ця здатність шифрувати, однак схильна до такого явища, як втрата масштабу, а також відсутність не змінного переміщення, який піднімається від дискретного процесу перемикання (нижче) під час застосування перетворення. Суб-послідовність, яка представляє собою лінійні та квадратичні складові сигналу (наприклад), по різному оброблюється перетворенням, в залежності від вирівнювання точки з парним, або непарним розташуванням в послідовності. Відсутність важливої ​​властивості незмінного переміщення, призвела до розробки декількох різних версій незмінного переміщення (дискретного) вейвлет-перетворення.

І послідовність масштабування (фільтр нижніх частот), і послідовність вейвлета (смуговий фільтр) (див. ортогональний вейвлет для деталей цієї конструкції) будуть нормалізовані, щоб мати суму, еквівалентну 2 і суму квадратів рівну 2. У деяких випадках їх нормалізують, для того, щоб мати суму ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, так що обидві послідовності і всі їх переміщення парним числом коефіцієнтів, ортонормовані один до одного. Використовуючи загальне уявлення для послідовності масштабування ортогонального дискретного вейвлет-перетворення з порядком апроксимації А, ${\displaystyle a(Z)=2^{1-A}(1+Z)^{A}\,p(Z)}$ з N = 2А, р має дійсні коефіцієнти, р(1) = 1 і ступінь (р) = A-1, таким чином можна записати умову ортогональності як

${\displaystyle a(Z)\,a(Z^{-1})+a(-Z)\,a(-Z^{-1})=4}$,

або як

${\displaystyle (2-X)^{A}P(X)+X^{A}\,P(2-X)=2^{A}}$ (*), с многочленом Лорана ${\displaystyle X:=1/2\cdot (2-Z-Z^{-1})}$,

який породжує всі симетричні послідовності та ${\displaystyle X(-Z)=2-X(Z)}$. Потім, P(X) означає симетричний многочлен Лорана ${\displaystyle P(X(Z))=p(Z)p(Z^{-1})}$. Оскільки, ${\displaystyle X(e^{iw})=1-cos(w)}$ і ${\displaystyle p(e^{iw})p(e^{-iw})=|p(e^{iw})|^{2}}$, P приймає невід'ємні значення на відрізку [0,2]. Рівняння (*) має одне мінімальне рішення для кожного A, яке можна отримати шляхом ділення в кільці усіченого степеневого ряду в X,

${\displaystyle P_{A}(X)=\sum _{k=0}^{A-1}\left({{A+k-1} \atop {A-1}}\right)2^{-k}X^{k}}$.

Очевидно, воно приймає позитивні значення на проміжку (0,2). Однорідне рівняння для (*) антисиметричне при X=1 і таким чином, існує загальне рішення ${\displaystyle X^{A}(X-1)R((X-1)^{2})}$, де R будь-який многочлен с дійсними коефіцієнтами. Ця сума

${\displaystyle P(X)=P_{A}(X)+X^{A}(X-1)R((X-1)^{2})}$

повинна бути невід'ємною на проміжку [0,2] і перекладається в набір лінійних обмежень на коефіцієнти R. Значення P на проміжку [0,2], обмежені деякою кількістю ${\displaystyle 4^{A-r}}$, збільшення rприводить до лінійної програми с нескінченим числом умов нерівності. Для вирішення ${\displaystyle P(X(Z))=p(Z)p(Z^{-1})}$ для p, використовується техніка, яка називається спектральне розкладання відповідно (Fejér-Riesz-algorithm). Многочлен P(X) розкладається на лінійні множники ${\displaystyle P(X)=(X-\mu _{1})\dots (X-\mu _{N})}$, N=A+1+2deg(R). Кожний лінійний множник відображує многочлен Лорана ${\displaystyle (X(Z)-\mu )=-{\frac {1}{2}}Z+1-\mu -{\frac {1}{2}}Z^{-1}}$, який можна розкласти на два лінійні множники. Можна призначити p(Z) будь-яким одним із двох лінійних множників, таким чином, виходить 2^N можливих рішень. Для екстремальної фази вибираємо те рішення, яке має всі комплексні корені p(Z) всередині або на одиничному колі. Для вейвлет-перетворення Добеші, використовується пара лінійних фільтрів. Ця пара фільтрів повинна мати властивість, яка називається квадратурний дзеркальний фільтр. Для вирішення коефіцієнта лінійного фільтра ${\displaystyle c_{i}}$ використовуються властивості квадратурних дзеркальних фільтрів, які випливають в наведеному нижче рішенні для значень коефіцієнта фільтра 4-го порядку. ${\displaystyle c_{0}={\frac {1+{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}}}$ ${\displaystyle c_{1}={\frac {3+{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}}}$ ${\displaystyle c_{2}={\frac {3-{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}}}$ ${\displaystyle c_{3}={\frac {1-{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}}}$

Нижче наведені коефіцієнти для функцій масштабування для D2-20. Вейвлет-коефіцієнти отриманні шляхом зміни порядку коефіцієнтів функції масштабування, а потім заміна знаку кожного другого, (тобто, Д4 вейвлет = {-0,1830127, -0,3169873, 1,1830127, -0,6830127}). Математично це виглядає як ${\displaystyle b_{k}=(-1)^{k}a_{N-1-k}}$ , де k є індексом коефіцієнта, b — коефіцієнт послідовності вейвлета і а коефіцієнт масштабування послідовності. N є індексом вейвлета, тобто, 2 для D2.

Частини цієї конструкції також використовуються для виведення біортогональних Коена-Добеші-Феювіан вейвлетів (CDFS).

У той час як програмне забезпечення, таке, як Mathematica підтримує вейвлети Добеші безпосередньо, базова реалізація проста в MATLAB (в даному випадку, Добеші 4). Ця реалізація використовує періодизацію, щоб впоратися з проблемою кінцевої довжини сигналу. Інші, більш складні методи доступні, але часто немає необхідності використовувати їх, оскільки це впливає тільки на самий кінець перетворення сигналу. Періодизація виконується безпосередньо в прямому напрямку перетворення в MATLAB векторній системі численні, а також зворотнє перетворення за допомогою функції circshift ():

N = length(S);
s1 = S(1:2:N-1) + sqrt(3)*S(2:2:N);
d1 = S(2:2:N) - sqrt(3)/4*s1 - (sqrt(3)-2)/4*[s1(N/2); s1(1:N/2-1)];
s2 = s1 - [d1(2:N/2); d1(1)];
s = (sqrt(3)-1)/sqrt(2) * s2;
d = (sqrt(3)+1)/sqrt(2) * d1;

d1 = d * ((sqrt(3)-1)/sqrt(2));
s2 = s * ((sqrt(3)+1)/sqrt(2));
s1 = s2 + circshift(d1,-1);
S(2:2:N) = d1 + sqrt(3)/4*s1 + (sqrt(3)-2)/4*circshift(s1,1);
S(1:2:N-1) = s1 - sqrt(3)*S(2:2:N);

• Ingrid Daubechies: Ten Lectures on Wavelets, SIAM 1992
• A.N. Akansu, An Efficient QMF-Wavelet Structure (Binomial-QMF Daubechies Wavelets), Proc. 1st NJIT Symposium on Wavelets, April 1990
• Proc. 1st NJIT Symposium on Wavelets, Subbands and Transforms, April 1990
• A.N. Akansu, R.A. Haddad and H. Caglar, Perfect Reconstruction Binomial QMF-Wavelet Transform, Proc. SPIE Visual Communications and Image Processing, pp. 609–618, Lausanne, Sept. 1990
• Carlos Cabrelli, Ursula Molter: Generalized Self-similarity", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 230: 251—260, 1999.
• Hardware implementation of wavelets
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001). Daubechies wavelets. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
• I. Kaplan, The Daubechies D4 Wavelet Transform.