Впорядкована група

Множина ${\displaystyle P(G)=\{x\in G|x\geqslant 0\}}$, називається додатним конусом має властивості:

1. ${\displaystyle P(G)\cdot P(G)\subseteq P(G)}$
2. ${\displaystyle P(G)\cap P(G)^{-1}=\{1\}}$
3. ${\displaystyle x^{-1}P(G)x\subseteq P(G)}$

Навпаки, якщо у групі G є множина P, що задовольняє умовам, то G можна перетворити на впорядковану групу взявши, що ${\displaystyle y\geqslant x}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle xy^{-1}\in P.}$ Також при цьому ${\displaystyle P=P(G).}$

Для лінійно впорядкованих груп для додатного конуса додатково справедливим є твердження:

• ${\displaystyle P(G)\cup P(G)^{-1}=G.}$

Для направлених груп крім перших трьох властивостей також виконується:

• ${\displaystyle P(G)\cdot P(G)^{-1}=G.}$

• адитивна група ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ дійсних чисел із звичайним порядком є лінійно впорядкованою групою;
• група ${\displaystyle F(X,\mathbb {R} )}$ функцій визначених на множині X, із значеннями в множині дійсних чисел. На цій множині можна визначити операцію поточкового додавання функцій. Відношення часткового порядку на множині цих функцій можна ввести таким чином: ${\displaystyle f\geqslant g}$ тоді і тільки тоді коли ${\displaystyle f(x)\geqslant g(x),\,\forall x\in X.}$
• група ${\displaystyle A(M)}$ усіх автоморфізмів лінійно упорядковано] множини M себе є впорядкованою групою, якщо за групову операцію взяти суперпозицію відображень, відношення порядку визначити: ${\displaystyle \phi \geqslant \psi ,}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \phi (m)\geqslant \psi (m),\,\forall m\in M.}$

Якщо H підгрупа групи впорядкованої групи G, то H теж буде підгрупою відносно індукованого відношення часткового порядку. Ця підгрупа називається випуклою, якщо для будь-яких елементів ${\displaystyle x,y,z\in G,}$ для яких ${\displaystyle x\geqslant y\geqslant z}$ і ${\displaystyle x,z\in H,}$ також і ${\displaystyle y\in H.}$

Гомоморфізм ${\displaystyle \phi :G\to H,}$ що зберігає порядок у групах називається порядковим гомоморфізмом. Гомоморфізм ${\displaystyle \phi :G\to H,}$ є порядковим тоді і тільки тоді коли ${\displaystyle \phi (P(G))\subseteq P(H).}$

Ядром порядкового гомоморфізму впорядкованої групи завжди є випукла нормальна підгрупа.

• Частково впорядкована множина

• Кокорин А. И., Копытов В. М., Линейно упорядоченные группы, М., 1972
• Общая алгебра / Под общей редакцией Л.А. Скорнякова — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — Т. 1. — 592 с.
• Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965.