Гомоморфізм

Дійсні числа є кільцем, що має додавання і множення. Множина всіх ${\displaystyle 2\times 2}$ матриць також кільце над додаванням матриць і множенням матриць. Якщо ми визначимо функцію між цими кільцями так:

${\displaystyle f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}}$

де ${\displaystyle r}$ дійсне число. Тоді ${\displaystyle f}$ — гомоморфізм кілець, бо ${\displaystyle f}$ зберігає і додавання:

${\displaystyle f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)}$

і множення:

${\displaystyle f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).}$

Інший приклад, ненульові комплексні числа утворюють групу над множенням, так само як ненульові дійсні числа. (Нуль треба виключити, бо він не має оберненого елемента, який повинен бути в елементів групи.) Визначимо функцію ${\displaystyle f}$ з ненульових комплексних чисел в ненульові дійсні числа так

${\displaystyle f(z)=|z|.\,\!}$

Де, ${\displaystyle f(z)}$ — абсолютне значення (або модуль) комплексного числа ${\displaystyle z}$. Тоді ${\displaystyle f}$ — гомоморфізм групи, бо воно зберігає множення:

${\displaystyle f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}|\,|z_{2}|=f(z_{1})\,f(z_{2}).}$

Зауважте, що ${\displaystyle f}$ не можна поширити на гомоморфізм груп (з комплексних в дійсні), бо вона не зберігає додавання:

${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.}$

Кожен тип алгебраїчних структур має свій гомоморфізм:

• Гомоморфізм груп
• Гомоморфізм кілець
• Гомоморфізм модулів
• Лінійний оператор (гомоморфізм векторних просторів)
• Гомоморфізм алгебр

• Ізоморфізм — бієктивний гомоморфізм.
• Епіморфізм — сюр'єктивний гомоморфізм.
• Мономорфізм — ін'єктивний гомоморфізм.
• Ендоморфізм — гомоморфізм алгебраїчної категорії самої в себе.
• Автоморфізм — ендоморфізм, що є одночасно ізоморфізмом.

Вищеозначені терміни використовуються і в теорії категорій, де вони визначені загальнішим чином.

• Гомоморфізм ${\displaystyle \phi \colon A\rightarrow B}$ визначає відношення еквівалентності ${\displaystyle \sim }$ в ${\displaystyle A}$ так:

${\displaystyle \ x\sim y\;\;\iff \;\;\phi {(x)}=\phi {(y)}.}$

Відношення ${\displaystyle \sim }$ називається ядром ${\displaystyle \phi }$.

• Фактор-множина ${\displaystyle X/\!\sim }$ ізоморфна образу ${\displaystyle \phi }$.

• Множина всіх ендоморфізмів множини ${\displaystyle X}$ утворює моноїд, позначається ${\displaystyle \mathrm {End} \,(X)}$.
• Множина всіх автоморфізмів множини ${\displaystyle X}$ утворює групу, позначається ${\displaystyle \mathrm {Aut} \,(X)}$.

Поняття гомоморфізму і споріднені з ним поняття ізоморфізму і автоморфізму мають величезне практичне значення, так як вони дозволяють представляти одну модель іншою моделлю.

• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми
• Гомеоморфізм
• Дифеоморфізм

• Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)