Автоморфізм

${\displaystyle (A,(f_{i}))}$ є алгебраїчною структурою ${\displaystyle A}$ разом з кінцевим числом потоків ${\displaystyle (f_{i})}$. Можуть бути алгебраїчні структури, такі як векторний простір ${\displaystyle (A,(+,\cdot ))}$, група ${\displaystyle (A,*)}$ або кільце ${\displaystyle (A,(+,*))}$. Тоді під алгеброю розуміється автоморфізм ${\displaystyle \phi \colon A\to A}$ взаємно однозначне відображення множини ${\displaystyle A}$ на себе, яка є лінійною, це означає що: ${\displaystyle \phi \left(f_{i}(a_{1},\ldots ,a_{\sigma _{i}})\right)=f_{i}(\phi (a_{1}),\ldots ,\phi (a_{\sigma _{i}}))}$ для всіх ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{\sigma _{i}}\in A}$. Зворотна функція ${\displaystyle \phi ^{-1}:A\to A}$ в цих умовах є автоматично лінійною.

Нехай ${\displaystyle X}$ об'єкт. Морфізм ${\displaystyle f\colon X\to X}$ є автоморфізмом, якщо він є двосторонньо оберненим ${\displaystyle g\colon X\to X}$. Тобто, відповідне відображення ${\displaystyle g\colon X\to X}$ існує, так що виконуються: ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{X}}$ і ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$.

• ${\displaystyle \operatorname {Aut} \mathbb {Z} ^{+}=\mathbb {Z} _{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Aut} \mathbb {Q} ^{+}=\mathbb {Q} ^{\times }}$
• ${\displaystyle \operatorname {Aut} \mathbb {Z} _{n}^{+}=\mathbb {Z} _{\varphi (n)}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Aut} \mathbb {Z} _{p}^{\times }=\mathbb {Z} _{\varphi (p-1)}^{+}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Aut} S_{n}=S_{n},n\neq 2;6}$, * ${\displaystyle \operatorname {Out} S_{6}=\mathbb {Z} _{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {char} K>2\Rightarrow \operatorname {Aut} \operatorname {GL} _{n}(K)=\operatorname {SL} _{n}(K),K}$ - поле характеристики більшої за 2.