Відображальна функція Мироненка

Нехай ${\displaystyle \varphi (t;t_{0},x)}$ є загальний розв'язок у формі Коші системи диференціальних рівнянь ${\displaystyle {\dot {x}}=X(t,x),}$ розв'язки якої однозначно визначаються своїми початковими даними. Відображальна функція цієї системи визначається формулою ${\displaystyle F(t,x)=\varphi (-t;t,x).}$

Для ${\displaystyle \,2\omega }$-періодичної по змінній ${\displaystyle t}$ системи диференціальних рівнянь з відображальною функцією ${\displaystyle \,F(t,x)}$ відображення ${\displaystyle \,\Pi (x)}$ за період ${\displaystyle \,[-\omega$ ;\omega ]} (відображення Пуанкаре) визначається за формулою ${\displaystyle \,\Pi (x)=F(-\omega ,x).}$ Тому знання відображальної функції дозволяє знаходити початкові дані ${\displaystyle \,(\omega ,x_{0})}$ для ${\displaystyle \,2\omega }$-періодичних розв'язків ${\displaystyle \varphi (t;-\omega ,x_{0})}$ розглянутої системи й досліджувати ці розв'язки на усталеність за Ляпуновим. Відображальна функція ${\displaystyle \,F(t,x)}$ системи ${\displaystyle {\dot {x}}=X(t,x)}$ задовольняє так званому основному співвідношенню

${\displaystyle \,F_{t}+F_{x}X+X(-t,F)=0,}$ ${\displaystyle \,F(0,x)=x.}$

За допомогою цього співвідношення встановлюється, що для багатьох неінтегрувальних в квадратурах систем диференціальних рівнянь відображення ${\displaystyle \,\Pi (x)}$ за період ${\displaystyle \,[-\omega$ ;\omega ]} може бути знайдене навіть через елементарні функції. У цьому відображальна функція може бути зіставлена з інтегруючим множником.

Відображальна функція використовується при дослідженні питань існування й усталеності періодичних розв'язків крайових задач для систем диференціальних рівнянь.

• Мироненко В. И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. — Минск, Университетское, 1986. — 76 с.
• Мироненко В. И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. — Гомель: Мин. образов. РБ, ГГУ им. Ф. Скорины, 2004. — 196 с.

• Сайт про відображальну функцію (англ., рос.)
• How to construct equivalent differential systems