Відображення Пуанкаре

В теорії динамічних систем, розділі математики, відображення Пуанкаре (також відображення першого повернення) — це проєкція деякої площинки у фазовому просторі на себе (або на іншу площинку) уздовж траєкторій (фазових кривих) системи.

Відображення Пуанкаре трансверсальної площинки на себе визначається точкою першого повернення траєкторії на площинку

Докладніше відображення Пуанкаре визначається так. Розглянемо деяку ділянку поверхні у фазовому просторі (перетин Пуанкаре), трансверсальну до векторного поля системи (тобто не дотичну до поля; часто кажуть просто трансверсаль). З точки ${\displaystyle x}$ на трансверсалі випустимо траєкторію системи. Припустимо, що в якийсь момент траєкторія вперше перетнула трансверсаль знову; позначимо точку перетину через ${\displaystyle y}$. Відображення Пуанкаре точці ${\displaystyle x}$ ставить у відповідність точку першого повернення ${\displaystyle y}$. Якщо траєкторія, випущена з ${\displaystyle x}$, ніколи не повертається на трансверсаль, то відображення Пуанкаре в цій точці не визначено.

Аналогічно можна визначити відображення Пуанкаре не тільки з трансверсалі на себе, але і з однієї трансверсалі на іншу.

Ітерації відображення Пуанкаре з деякої трансверсалі на себе утворюють динамічну систему з дискретним часом на фазовому просторі меншої розмірності. Властивості цієї системи мають тісний зв'язок із властивостями початкової системи з неперервним часом (наприклад, нерухомі і періодичні точки відображення Пуанкаре відповідають замкнутим траєкторіям системи). Тим самим встановлюється зв'язок між векторними полями і їх потоками з одного боку й ітераціями відображень — з іншого. Відображення Пуанкаре є важливим інструментом дослідження динамічних систем з неперервним часом.