Арифметична прогресія

Арифмети́чна (аритмети́чна[1]) прогре́сія — це послідовність дійсних чисел виду

${\displaystyle a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots }$,

де ${\displaystyle a_{1}}$ — це перший член прогресії, ${\displaystyle d}$ — це фіксована різниця між попереднім та наступним.

Формула для знаходження ${\displaystyle n}$-го члена прогресії:

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d,\quad \forall n\geqslant 1}$

Для усіх членів прогресії, починаючи з другого, справедлива рівність:

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d}$.

Сума ${\displaystyle n}$ перших членів арифметичної прогресії може бути виражена такими формулами:

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}={a_{1}+a_{n} \over 2}n={2a_{1}+d(n-1) \over 2}n}$.

Сума ${\displaystyle n}$ послідовних членів арифметичної прогресії починаючи з члена ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle S_{n}={a_{k}+a_{k+n-1} \over 2}n}$.

Сума перших ${\displaystyle n}$ натуральних чисел:

${\displaystyle 1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}$.

Ця формула відома як трикутне число.

Існує історія про те, як Карл Ґаусс відкрив цю формулу, коли навчався у третьому класі. Щоб подовше зайняти дітей, учитель попросив клас порахувати суму перших ста чисел — ${\displaystyle 1+2+\dots +99+100}$. Ґаусс помітив, що попарні суми з протилежних кінців однакові: ${\displaystyle 1+100=101}$, ${\displaystyle 2+99=101}$ тощо, і тому зміг відразу відповісти, що сума дорівнює ${\displaystyle 5050}$. Дійсно, легко бачити, що рішення зводиться до формули ${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$, тобто до формули суми перших ${\displaystyle n}$ чисел натурального ряду.

Також арифметична прогресія належить такому розділу з математики, як комбінаторика. Узагальненням арифметичної прогресії є рекурентне співвідношення.