Геометричне програмування

Геометричне програмування — розділ математичного програмування, що вивчає підхід до розв'язування нелінійних задач оптимізації спеціальної структури. Термін вперше ввели 1967 року Р. Даффін, Е. Пітерсон і К. Зенер. Назва дисципліни пов'язана з тим, що однією з основних у викладаній теорії є нерівність між середнім геометричним і середнім арифметичним і її узагальнення. Передумовою до розвитку геометричного програмування стали деякі геометричні задачі і методи їх розв'язування. Базовим поняттям геометричного програмування є позіном.

Формулювання задачі геометричного програмування

Знайти найменше значення функції $g_{0}(t)$ за обмежень:

t_{1}>0,t_{2}>0,...,t_{m}>0

і

g_{1}(t)\leqslant 1,g_{2}(t)\leqslant 1,...,g_{p}(t)\leqslant 1,

.

Тут

g_{k}(t)=\sum _{i\in J[k]}c_{i}t_{1}^{a_{i1}}t_{2}^{a_{i2}}...t_{m}^{a_{im}},k=0,1,...,p

,

де

J[k]=(m_{k},m_{k}+1,m_{k}+2,...,n_{k})k=0,1,...,p

і

m_{0}=1,m_{1}=n_{0}+1,m_{2}=n_{1}+1,...,m_{p}=n_{p-1}+1,n_{p}=p

.

Функції $g_{k}(t)$ — позіноми.

Приклади задач геометричного програмування

Приклад 1

Знайти довжини сторін прямокутника заданого периметра, що має найбільшу площу. Те саме для трикутника.

Приклад 2

\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{\beta _{i}}\rightarrow \max

за обмежень

\sum \limits _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}=S,\ x_{i}>0,\ x_{i}\in \mathbb {R} ,

де $\beta _{i}>0,\ \alpha _{i}>0,\beta _{i}\in \mathbb {R} ,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\ i={\overline {1,n}},$

Розв'язком задачі є вектор $x_{}^{*}$ з компонентами $x_{i}^{*}={\frac {\beta _{i}S}{\alpha _{i}\beta }},$ де $\ \beta =\sum \limits _{i=1}^{n}\beta _{i}.$

Програмні засоби

Існує декілька пакунків програм, які допомагають формулювати та розв'язувати задачі геометричного програмування.

MOSEK — це комерційний розв'язувач, здатний розв'язувати задачі геометричного програмування, а також інші задачі нелінійної оптимізації.
CVXOPT — це розв'язувач із відкритим кодом для опуклих задач оптимізації.
GPkit — це пакунок Python для чіткого визначення та маніпулювання моделями геометричними програмування. Містить низку прикладів моделей геометричного програмування, написаних разом із цим пакетом.
GGPLAB — це набір інструментів MATLAB для постановки та вирішення задач геометричного програмування (ГП) та узагальнених задач геометричного програмування (УГП).
CVXPY — це вбудована в Python мова моделювання для визначення та розв'язування опуклих задач оптимізації, включано з ГП, УГП та LLCP[1].

Див. також

Примітки

A. Agrawal, S. Diamond, and S. Boyd. Disciplined Geometric Programming. Retrieved 8 January 2019.

Література

Richard J. Duffin, Elmor L. Peterson, Clarence Zener. Geometric Programming. — John Wiley and Sons, 1967. — P. 278. — ISBN 0-471-22370-0.
Р. Даффин, Э. Питерсон, К. Зенер. Геометрическое программирование. — М. : Мир, 1972. — 311 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[dgp-1] A. Agrawal, S. Diamond, and S. Boyd. Disciplined Geometric Programming. Retrieved 8 January 2019.