Геометричний розподіл

В теорії імовірностей і статистиці геометричний розподіл визначається як будь-який з двох розподілів ймовірностей:

дискретна випадкова величина X має геометричний розподіл з параметром p , якщо вона збігається з кількістю випробувань до першого успіху в нескінченній послідовності випробувань Бернуллі з імовірністю успіху в одному випробуванні.
$\Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}\,p\,$

де k = 1, 2, 3, ....
величина Y = X − 1 , що дорівнює кількості неуспіхів до першого успіху.
$\Pr(Y=k)=(1-p)^{k}\,p\,$

де k = 0, 1, 2, 3, ....

Який з цих розподілів називати геометричним питання згоди і зручності. Ці два різні геометричні розподіли не можна плутати один з одним. Очікувана величина геометричного розподілу випадкової величини X є 1/p і її похибка (1 − p)/p²:

\mathrm {E} (X)={\frac {1}{p}},\qquad \mathrm {var} (X)={\frac {1-p}{p^{2}}}.

Так само очікувана величина геометричного розподілу випадкової величини Y є $(1-p)/p$ , і її похибка $(1-p)/p^{2}$ :

\mathrm {E} (Y)={\frac {1-p}{p}},\qquad \mathrm {var} (Y)={\frac {1-p}{p^{2}}}.

Оцінка параметра

Для обох варіантів геометричного розподілу параметр p може оцінюватися через порівняння очікуваної величини.Це метод моментів , який у цьому випадку проводить оцінки максимальної ймовірності "p. Припустимо, для першого варіанту $k_{1},\dots ,k_{n}$ ,коли $k_{i}\geq 1$ for $i=1,\dots ,n$ . Тоді p може бути оцінений як

{\widehat {p}}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)^{-1}.\!

p\sim \mathrm {Beta} \left(\alpha +n,\ \beta +\sum _{i=1}^{n}(k_{i}-1)\right).\!

.

{\widehat {p}}=\left(1+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)^{-1}.\!

p\sim \mathrm {Beta} \left(\alpha +n,\ \beta +\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right).\!

Інші властивості

Функція вірогідності X і Y , відповідно,

$G_{X}(s)={\frac {s\,p}{1-s\,(1-p)}},\!$

$G_{Y}(s)={\frac {p}{1-s\,(1-p)}},\quad |s|<(1-p)^{-1}.\!$
Подібно неперервному аналогу (показниковий розподіл) , геометричний розподіл має властивість відсутності пам'яті. Це означає, що кількість попередніх "невдач" не впливає на кількість наступних "невдач".Таким чином геометричний розподіл - це єдиний дискретний розподіл з такою властивістю.
Серед всіх дискретних ймовірних розподілів на {1, 2, 3, ... } з даною очікуваною величиною μ геометричний розподіл X з параметром p = 1/μ є одним

Геометричний розподіл числа Y невдач перед першим успіхом є нескінченно ділимим,для будь-якого додатнього цілого n, існують незалежні тотожньо розподілені випадкові величини Y₁, ..., Y_n сума яких має такий самий розподіл як і Y

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.