Граф товаришування

Теорема про граф товаришування Ердеша, Реньї і Шош[3][4] стверджує, що скінченні графи з властивістю, що будь-які дві вершини мають рівно одного спільного сусіда, це в точно графи товаришування. Неформально, якщо група людей має властивість, що будь-яка пара людей має рівно одного спільного друга, то має бути одна особа, яка є другом решти членів групи. Для нескінченних графів, однак, може існувати багато різних графів однакової потужності, що мають цю властивість[5].

Комбінаторне доведення теореми про граф товаришування дали Мертціос і Унгер[6]. Інше доведення дав Крейг Хунеке[7].

Граф товаришування має хроматичне число 3 і хроматичний Індекс 2n. Його хроматичний многочлен можна отримати з хроматичного многочлена циклу C_{3, він} дорівнює ${\displaystyle (x-2)^{n}(x-1)^{n}x}$.

Граф товаришування F_n має досконалу розмітку ребер тоді і тільки тоді, коли n непарне. Він має граціозну розмітку тоді і тільки тоді, коли n ≡ 0 (mod 4), або n ≡ 1 (mod 4)[8][9].

Будь-який граф товаришування є фактор-критичним.

Згідно з екстремальною теорією графів будь-який граф з досить великим числом ребер (відносно числа вершин) повинен містити, як підграф, k-лопатевий вітряк. Точніше, це істинне для графа з n вершинами, якщо число ребер дорівнює

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n^{2}}{4}}\right\rfloor +f(k),}$

де f(k) дорівнює k² − k, якщо k непарне, і f(k) дорівнює k² − 3k/2, якщо k парне. Ці межі узагальнюють теорему Турана про число ребер у графі без трикутників і вони є кращими межами для цієї задачі, оскільки для будь-якого меншого числа ребер існують графи, що не містять k-лопатевого вітряка[10].