Греки (фінанси)

Греки є життєво важливими інструментами в управлінні ризиками. Кожен грек показує чутливість вартості портфеля до невеликої зміни даного базового параметра, таким чином компоненти ризику можна розглянути окремо, і збалансувати портфель для досягнення відповідного бажаного рівня ризику; наприклад, дельта-хеджування.

Найбільш поширеним з греків є похідні першого порядку: Дельта, Веґа, Тета і Ро, а також Ґамма, похідна другого порядку функції вартості.

Дельта (Δ) вимірює швидкість зміни вартості теоретичного опціону (чи іншого деривативу) при зміні ціни базового активу. Дельта є першою похідною вартості опціону ${\displaystyle V}$ за ціною базового інструменту ${\displaystyle S}$. Для опціону, дельта знаходиться в діапазоні (0; 1) для позицій long call та short put і знаходиться в діапазоні (-1; 0) для позицій short call та long put.

Веґа (${\displaystyle \nu }$) вимірює чутливість вартості опціону до волатильності базового активу. Веґа є першою похідною від вартості опціону за волатильністю базового активу ${\displaystyle \sigma }$. Ця чутливість позначається грецькою літерою ${\displaystyle \nu }$ (ню), але загальноприйнятою є назва „веґа“ (немає грецької літери з назвою веґа). Веґа майже завжди додатня для операцій long (купівля опціону) і від'ємна для операцій put (продаж опціону).

Тета (${\displaystyle \Theta }$) вимірює чутливість вартості опціону до плину часу. Знак мінус у формулі пояснюється тим, що з плином часу ${\displaystyle t}$ час ${\displaystyle \tau }$, що залишається до моменту виконання опціону ${\displaystyle T}$ зменшується. Математичний результат формули для тета виражається у чутливості на рік. Зазвичай результат ділять на кількість днів у році, щоб отримати чутливість за один день. Тета майже завжди від'ємна для операцій long (купівля опціону) і додатня для операцій put (продаж опціону).

Ро (${\displaystyle \rho }$) вимірює чутливість вартості опціону до процентної ставки, Ро є першою похідною за безризиковою процентною ставкою. За винятком екстремальних умов, вартість опціону є менш чутливою до змін в безризиковій процентній ставці, ніж до змін інших параметрів. Тому, Ро є найменш вживаним з греків першого порядку.

Ґамма (${\displaystyle \Gamma }$) вимірює швидкість зміни Дельти при зміні ціни базового активу. Гамма є другою похідною вартості опціону за ціною базового активу.

Для заданих параметрів: Зацінка акції ${\displaystyle S\,}$, Ціна виконання ${\displaystyle K\,}$, безризикова ставка, ${\displaystyle r\,}$, Річна дивідендна прибутковість${\displaystyle q\,}$, Час зрілості ${\displaystyle \tau =T-t\,}$, і волатильність ${\displaystyle \sigma \,}$...

	Опціон покупця	Опціон продавця
вартість	${\displaystyle Se^{-q\tau }\Phi (d_{1})-e^{-r\tau }K\Phi (d_{2})\,}$	${\displaystyle e^{-r\tau }K\Phi (-d_{2})-Se^{-q\tau }\Phi (-d_{1})\,}$
delta	${\displaystyle e^{-q\tau }\Phi (d_{1})\,}$	${\displaystyle -e^{-q\tau }\Phi (-d_{1})\,}$
vega	${\displaystyle Se^{-q\tau }\phi (d_{1}){\sqrt {\tau }}=Ke^{-r\tau }\phi (d_{2}){\sqrt {\tau }}\,}$
theta	${\displaystyle -e^{-q\tau }{\frac {S\phi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}-rKe^{-r\tau }\Phi (d_{2})+qSe^{-q\tau }\Phi (d_{1})\,}$	${\displaystyle -e^{-q\tau }{\frac {S\phi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}+rKe^{-r\tau }\Phi (-d_{2})-qSe^{-q\tau }\Phi (-d_{1})\,}$
rho	${\displaystyle K\tau e^{-r\tau }\Phi (d_{2})\,}$	${\displaystyle -K\tau e^{-r\tau }\Phi (-d_{2})\,}$
gamma	${\displaystyle e^{-q\tau }{\frac {\phi (d_{1})}{S\sigma {\sqrt {\tau }}}}\,}$
vanna	${\displaystyle -e^{-q\tau }\phi (d_{1}){\frac {d_{2}}{\sigma }}\,={\frac {\nu }{S}}\left[1-{\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\right]\,}$
charm	${\displaystyle qe^{-q\tau }\Phi (d_{1})-e^{-q\tau }\phi (d_{1}){\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{2\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}\,}$	${\displaystyle -qe^{-q\tau }\Phi (-d_{1})-e^{-q\tau }\phi (d_{1}){\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{2\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}\,}$
speed	${\displaystyle -e^{-q\tau }{\frac {\phi (d_{1})}{S^{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left({\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}+1\right)=-{\frac {\Gamma }{S}}\left({\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}+1\right)\,}$
zomma	${\displaystyle e^{-q\tau }{\frac {\phi (d_{1})\left(d_{1}d_{2}-1\right)}{S\sigma ^{2}{\sqrt {\tau }}}}=\Gamma \cdot \left({\frac {d_{1}d_{2}-1}{\sigma }}\right)\,}$
color	${\displaystyle -e^{-q\tau }{\frac {\phi (d_{1})}{2S\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[2q\tau +1+{\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}d_{1}\right]\,}$
veta	${\displaystyle Se^{-q\tau }\phi (d_{1}){\sqrt {\tau }}\left[q+{\frac {\left(r-q\right)d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}-{\frac {1+d_{1}d_{2}}{2\tau }}\right]\,}$
vomma	${\displaystyle Se^{-q\tau }\phi (d_{1}){\sqrt {\tau }}{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}=\nu {\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}\,}$
Ultima	${\displaystyle {\frac {-\nu }{\sigma ^{2}}}\left[d_{1}d_{2}(1-d_{1}d_{2})+d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\right]}$
dual delta	${\displaystyle -e^{-r\tau }\Phi (d_{2})\,}$	${\displaystyle e^{-r\tau }\Phi (-d_{2})\,}$
dual gamma	${\displaystyle e^{-r\tau }{\frac {\phi (d_{2})}{K\sigma {\sqrt {\tau }}}}\,}$

дe

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(S/K)+(r-q+\sigma ^{2}/2)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {\ln(S/K)+(r-q-\sigma ^{2}/2)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}}$

${\displaystyle \phi (x)={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}}$

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy=1-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy}$

Покрокове виведення опціонних греків