Губка Менгера

Куб ${\displaystyle C_{0}}$ з ребром 1 ділять площинами, паралельними його граням, на 27 рівних кубів. З куба ${\displaystyle C_{0}}$ видаляють центральний куб і всі прилеглі до нього по двовимірних гранях куби такого ж розміру. Лишається множина ${\displaystyle C_{1}}$, що складається з решти 20 замкнутих кубів «першого рангу». Вчинивши так само з кожним з кубів першого рангу, отримаємо множину ${\displaystyle C_{2}}$, що містить 400 кубів другого рангу. Продовжуючи цей процес нескінченно, одержимо нескінченну послідовність: ${\displaystyle C_{0}\supset C_{1}\supset \dots \supset C_{n}\supset \dots }$, перерізом членів якої є губка Менгера.

1. Задаються координати 20 точок-атракторів. Ними є 8 вершин і 12 середин ребер вихідного куба ${\displaystyle C_{0}}$.
2. Ймовірнісний простір ${\displaystyle (0;1)}$ розбивається на 20 рівних частин, кожна з яких відповідає одному атрактору.
3. Задається деяка початкова точка ${\displaystyle P_{0}}$, що лежить всередині куба ${\displaystyle C_{0}}$.
4. Початок циклу побудови точок, що належать множині губки Менгера.
   1. Генерується випадкове число ${\displaystyle n\in (0;1)}$.
   2. Активним атрактором стає той, на ймовірнісний підпростір якого випало згенероване число.
   3. Будується точка ${\displaystyle P_{i}}$ з новими координатами: ${\displaystyle x_{i}={\frac {x_{i-1}+2x_{A}}{3}};y_{i}={\frac {y_{i-1}+2y_{A}}{3}};z_{i}={\frac {z_{i-1}+2z_{A}}{3}}}$, де: ${\displaystyle x_{i-1},y_{i-1},z_{i-1}}$ – координати попередньої точки ${\displaystyle P_{i-1}}$; ${\displaystyle x_{A},y_{A},z_{A}}$ – координати активної точки-атрактора.
5. Повернення до початку циклу.

Губка Менгера складається з 20 однакових частин, коефіцієнт подібності 1/3.