Гіперболічне дисконтування

Припустимо, що в дослідженні учасникам пропонується вибір: відразу взяти x доларів або взяти y доларів через n днів пізніше. Припустимо далі, що один учасник цього дослідження використовує експоненційне дисконтування, а інший — гіперболічне дисконтування. Обидва учасники знають, що вони можуть інвестувати гроші, які вони отримують сьогодні, в план заощаджень, який дає їм відсотки r. Обидва вони розуміють, що їм слід негайно взяти x доларів, якщо майбутня вартість плану заощаджень принесе більше ніж y доларів через n днів. Кожен учасник правильно розуміє основне запитання, яке ставиться: «Для будь-якої даної вартості y доларів і n днів, яка мінімальна сума x доларів, яку я повинен був би прийняти? Іншими словами, скільки доларів мені потрібно інвестувати сьогодні, щоб отримати y доларів через n днів?" Кожному знадобиться x доларів, якщо x більше, ніж відповідь, яку вони обчислюють, і кожному знадобиться y доларів через n днів, якщо x менше цієї відповіді. Однак методи, які вони використовують для обчислення цієї суми, і відповіді, які вони отримають, будуть різними, і тільки експоненційний дискаунтер використає правильний метод і отримає надійно правильний результат:

Експоненційний дискаунтер думає: «План заощаджень кожного дня додає до своєї вартості r відсотків вартості, яку він мав попереднього дня. Тому кожен день він множить свою вартість один раз на ${\displaystyle (100\%+r\%)}$ . Отже, якщо я вважаю інвестиції протягом n днів, її вартість помножиться на цю суму в n разів, що зробить це значення ${\displaystyle (100\%+r\%)^{n}}$ від того, що було на початку, тобто ${\displaystyle (1+r\%)^{n}}$ разів що було на початку. Отже, щоб з’ясувати, скільки мені потрібно почати сьогодні, щоб отримати y доларів через n днів, мені потрібно розділити y доларів на ${\displaystyle [1+r\%]n}$ ." Гіперболічний дискаунтер, однак, думає: «План заощаджень кожного дня додає до своєї вартості r відсотків. Отже, через n днів він додає до своєї вартості ${\displaystyle r*n}$ відсотків [Там криється помилка гіперболічного дискаунтера]. Щоб отримати y доларів через n днів, мені потрібно поділити y доларів на ${\displaystyle [1+n*r\%]}$ .»

Оскільки n стає дуже великим, значення ${\displaystyle (1+r\%)^{n}}$ стає набагато більшим за значення ${\displaystyle [1+n*r\%]}$ , в результаті чого значення ${\displaystyle y/[(1+r\%)^{n}]}$ стає набагато меншим за значення ${\displaystyle y/[1+n*r\%]}$ . Отже, мінімальне значення x (кількість доларів у безпосередньому виборі), якого достатньо, щоб бути більшим за цю суму, буде набагато меншим, ніж думає гіперболічний дискаунтер, в результаті чого вони сприйматимуть значення x в діапазоні від ${\displaystyle y/[(1+r\%)^{n}]}$ до ${\displaystyle y/[1+n*r\%]}$ включно як занадто малий, і, як наслідок, нераціонально відхиляйте ці альтернативи, коли вони насправді є кращими інвестиціями.

Гіперболічне дисконтування математично описується як

${\displaystyle g(D)={\frac {1}{1+kD}}\,}$

де g(D) – це коефіцієнт знижки, який помножує вартість винагороди, D – це затримка винагороди, k – параметр що регулюють ступінь дисконтування (наприклад, процентна ставка). Це порівнюється з формулою експоненційного дисконтування:

${\displaystyle f(D)=e^{-kD}\,}$

Якщо ${\displaystyle f(D)=2^{-D}\,}$ є експоненційною функцією дисконтування, а ${\displaystyle g(D)={\frac {1}{1+D}}\,}$ гіперболічна функція (з D числом тижнів затримки), тоді експоненціальне дисконтування через тиждень від "зараз" (D=0) дорівнює ${\displaystyle {\frac {f(1)}{f(0)}}={\frac {1}{2}}\,}$, а експоненціальна знижка на тиждень із тижня D дорівнює ${\displaystyle {\frac {f(D+1)}{f(D)}}={\frac {1}{2}}\,}$, що означає, що вони однакові. Для g(D), ${\displaystyle {\frac {g(1)}{g(0)}}={\frac {1}{2}}\,}$, що є те саме, що й для f, тоді як ${\displaystyle {\frac {g(D+1)}{g(D)}}=1-{\frac {1}{D+2}}\,}$. З цього видно, що два типи дисконтування однакові «зараз», але коли D набагато більше 1, наприклад 52 (один рік), ${\displaystyle {\frac {g(D+1))}{g(D)}}\,}$ буде прагнути до 1, так що гіперболічне дисконтування тижня в далекому майбутньому буде практично нульовим, тоді як експоненційний коефіцієнт дисконту все ще дорівнює 1/2, тому існує все ще істотна знижка в далекому майбутньому.

"Квазігіперболічна" функція знижки, запропонована Лейбсоном (1997), наближає функцію гіперболічної знижки, наведену вище за дискретний час за допомогою

${\displaystyle f_{QH}(0)=1,\,}$

і

${\displaystyle f_{QH}(D)=\beta \times \delta ^{D},\,}$

де β та δ є константами від 0 до 1; і знову D – це затримка винагороди, а f_QH(D) – коефіцієнт дисконтування. Умова f(0) = 1 означає, що винагороди, отримані в даний момент, не знижуються.

Квазігіперболічні переваги часу також називають "бета-дельта" перевагами. Вони зберігають значну частину аналітичної керованості експоненціального дисконтування, одночасно фіксуючи ключову якісну характеристику дисконтування за допомогою справжніх гіпербол.

Раціональним є дисконтування майбутніх прибутків — і з якою швидкістю слід дисконтувати такі прибутки — значною мірою залежить від обставин. Наприклад, у фінансовому світі існує багато прикладів, коли розумно припустити, що існує неявний ризик того, що винагорода не буде доступна в майбутньому, і, крім того, цей ризик з часом зростає. Подумайте про те, щоб заплатити 50 доларів за вечерю сьогодні або відкласти платіж на шістдесят років, але заплатити 100 000 доларів. У цьому випадку ресторатору було б розумно знизити обіцяну майбутню вартість, оскільки існує значний ризик того, що вона може не бути сплачена (наприклад, через смерть ресторатора або закусочні).

Невизначеність цього типу можна кількісно оцінити за допомогою Байєсівський аналіз.[7] Наприклад, припустимо, що ймовірність того, що винагорода стане доступною після часу t, є для відомого рівня небезпеки λ,

${\displaystyle P(R_{t}|\lambda )=\exp(-\lambda t),\,}$

але ставка невідома тому, хто приймає рішення. Якщо попередня ймовірність розподіл λ є

${\displaystyle p(\lambda )=\exp(-\lambda /k)/k,\,}$

тоді особа, яка приймає рішення, буде очікувати, що ймовірність винагороди після часу t дорівнює

${\displaystyle P(R_{t})=\int _{0}^{\infty }P(R_{t}|\lambda )p(\lambda )d\lambda ={\frac {1}{1+kt}},\,}$

що саме є гіперболічною ставкою дисконту. Подібні висновки можна отримати з інших правдоподібних розподілів для λ.[7]