Гіпотеза Берча і Свіннертона-Даєра

Гіпотеза Берча — Свіннертона-Дайера описує множину раціональних розв'язків рівнянь, які визначають еліптичною кривою. Це є відкритою проблемою у теорії чисел і широко визнана як одна з найбільш складних математичних проблем. Гіпотеза була вибрана в якості однієї з семи проблем тисячоліття, включених Математичним інститутом Клея до списку задач за які запропонована премію в розмірі 1 000 000 доларів за перше правильне доведення.[1] Гіпотеза названа на честь математиків Браяна Берча та Пітера Свіннертона-Даєра, які сформулювали гіпотезу в першій половині 1960-х років за допомогою машинних обчислень. Станом на 2016 рік доведено лише окремі випадки гіпотези.

Синій графікк ${\displaystyle \prod _{p\leq X}{\frac {N_{p}}{p}}}$ для рівняння ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-5x}$.
${\displaystyle X}$ знаходиться в межах перших 100000 простих чисел. Шкала абсцис — ${\displaystyle \log(\log(X))}$; шкала ординат знаходиться в логарифмічному масштабі. Гіпотеза передбачає, що графік повинен утворювати лінію нахилу, що дорівнює за рангом кривої, рівняння для якого він утворений. В разі ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-5x}$ ранг кривої дорівнює 1. Червоним кольором, для прикладу, намальована лінія з рангом кривизни 1.

У пошуках відповіді на питання — за яких умов діофантови рівняння у вигляді алгебраїчних рівнянь мають рішення в цілих і раціональних числах, Брайан Берч і Пітер Свіннертона-Дайер на початку 1960-х років припустили, що ранг ${\displaystyle r}$ еліптичної кривої ${\displaystyle E}$ над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ рішень дорівнює порядку нуля дзета-функції Хассе — Вейля ${\displaystyle E(L,s)}$ в точці ${\displaystyle s=1}$. Більш детально, гіпотеза стверджує, що існує ненульовий межа${\displaystyle B_{E}=\lim \limits _{s\to 1}{\frac {E(L,s)}{(s-1)^{r}}}}$, де значення ${\displaystyle B_{E}}$ залежить від тонких арифметичних інваріантів кривих.

Найбільш важливим частковим результатом станом на 2011 рік залишається доведене в 1977 році Джоном Коутс і Ендрю Уайлсом твердження, справедливе для великого класу еліптичних кривих про те, що якщо крива ${\displaystyle E}$ містить нескінченно багато раціональних точок, то ${\displaystyle E(L,1)=0}$${\displaystyle E(L,1)=0}$.

Гіпотеза є єдиним відносно простим загальним способом обчислення рангу еліптичних кривих.