Математичний інститут Клея

Інститут став відомим після оголошення 24 травня 2000 списку Проблем тисячоліття (Millennium Prize Problems). Ці сім проблем визначені як «важливі класичні задачі, рішення яких не знайдено от уже протягом багатьох років». За рішення кожної з задач запропоновано приз в 1 000 000 доларів США. Анонсуючи приз, інститут Клея провів паралель зі списком проблем Гільберта, представленим в 1900 році, та зробив істотний вплив на математиків XX століття. З 23 проблем у списку більшість вже вирішені, та лише одна — гіпотеза Рімана, увійшла в список інституту Клея. Наприкінці XX століття математики намагалися сформулювати подібні стратегічні завдання на наступне, XXI століття. Так, у травні 2000 року експерти Математичний інститут Клея відібрали сім найважливіших проблем сучасної математики. Кількість проблем у переліку (сім) було обрано виходячи з того, що засновник інституту, виділив на премії сім мільйонів доларів — по мільйону за вирішення кожної проблеми. Список цих проблем:

• P проти NP

Проблема рівності класів складності P і NP є однією з найважливіших проблем теорії алгоритмів, і має багато далекосяжних наслідків у математиці, філософії й криптографії (дивись Наслідки рівності класів P і NP). Нехай Р — алгоритм, який дає відповідь за поліноміальний час (тобто час реалізації алгоритму є щонайбільше поліноміальною функцією параметрів входу). Чи є поліноміальним час алгоритму NP перевірки вказаного розв'язку? Чи справедливо, що Р = NP?

• Гіпотеза Ходжа

Важлива проблема алгебраїчної геометрії. Гіпотеза описує класи когомологій на комплексних проективних многовидах, реалізовані алгебраїчними підмноговидами. На несингулярному комплексному проективному алгебраїчному многовиді будь-який клас Ходжа є раціональною лінійною комбінацією класів алгебраїчних циклів.

• Гіпотеза Пуанкаре

Вважається найвідомішою проблемою топології. Неформально кажучи, вона стверджує, що всякий «тривимірний об'єкт», що має деякі властивості тривимірної сфери (наприклад, кожна петля всередині нього стягується), має бути сферою з точністю до деформації. Тобто, будь-який замкнений однозв'язний тривимірний многовид є гомеоморфним до тривимірної сфери.

• Гіпотеза Рімана

Ця гіпотеза стверджує, що всі нетривіальні нулі дзета-функції Рімана мають дійсну частину 1/2. Її доведення або спростування буде мати далекосяжні наслідки для теорії чисел, особливо, в частині розподілу простих чисел. Гіпотеза Рімана була частиною восьмої проблеми Гільберта.

• Теорія Янга-Мілса

Задача походить із галузі фізики елементарних частинок. Потрібно довести, що для будь-якої простої компактної каліброваної групи G квантова теорія Янга — Мілса для простору R⁴ існує й має ненульовий дефект маси. Це твердження відповідає експериментальним даним і чисельному моделюванню, однак довести його дотепер не вдалося.

• Рівняння Нав'є — Стокса

Рівняння Нав'є — Стокса — це система рівнянь, що описують рух в'язкої рідини, одна з найважливіших задач гідродинаміки. Незважаючи на важливість задачі, існування гладких розв'язків зі скінченною кінетичною енергією математично не доведено.

• Гіпотеза Берча і Свіннертона-Даєра

Гіпотеза пов'язана з рівняннями еліптичних кривих і множиною їхніх раціональних розв'язків. Для будь-якої еліптичної кривої на множині раціональних чисел порядок нуля її L-функції в одиниці дорівнює рангу абелевої групи раціональних точок на кривій.

Деякі з математиків були залучені до вибору сімох проблем, а саме: Майкл Атія, Енріко Бомб'єрі, П'єр Рене Делінь, Чарльз Фефферман, Джон Мілнор, Девід Мамфорд, Ендрю Джон Вайлс і Едвард Віттен. Правила нагородження гнучкі, вони передбачають різні ситуації, наприклад і такі, як формулювання простого контрприкладу, що приводить до переформулювання проблеми. Розв'язання, якому може бути присуджено премію, потрібно опублікувати в одному з визначених журналів, і його мають вивчати фахівці протягом двох років. Після закінчення цього періоду Наукова консультативна рада буде вирішувати, чи розглядати автора розв'язання як претендента на присудження премії.

Станом на березень 2010 року одна з сімох проблем тисячоліття (гіпотеза Пуанкаре) вирішена. Премія за доказ гіпотези Пуанкаре присуджена російському математику Г. Я. Перельману,[1] що опублікував 2002 року серію робіт, яка доводить вихідну гіпотезу. Однак, Григорій Перельман відмовився прийняти премію та грошовий приз, сказавши: «У мене є все, чого я хочу»[2].

Крім того інститут Клея виплачує стипендії (терміном від 2 до 5 років) молодим математикам, а також короткострокові гранти для досліджень та написання книг. За найзначніший прорив у галузі математичних досліджень присуджується щорічна премія. Нарешті, Інститут Клея у великій кількості організовує курси вдосконалення, конференції, семінари та публічні лекції.

• Проблеми Гільберта
• Відкриті математичні проблеми

• Devlin, Keith J. (2002). The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time. Basic Books. ISBN 0-465-01729-0.
• Carlson, James; Jaffe, Arthur; Wiles, Andrew, ред. (2006). The Millennium Prize Problems. Providence. ISBN 978-0-8218-3679-8.

• http://www.claymath.org Математичний інститут Клея
• Тисячоліття Великих проблем в математиці
• Завдання тисячоліття
• Інтернет-бібліотека Математичного інституту Клея
• Проблеми тисячоліття