Гіпотеза Ейлера

Гіпотеза Ейлера стверджує, що для будь-якого натурального числа ${\displaystyle \ n>2}$ жодний n-ний степінь натурального числа не можна подати у вигляді суми ${\displaystyle (n-1)}$ n-них степенів інших натуральних чисел. Тобто, рівняння:

${\displaystyle {\begin{matrix}a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}\\a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}=e^{5}\\...\\\sum \limits _{k=1}^{n-1}{a_{k}^{n}}=a_{n}^{n}\end{matrix}}}$

не мають розв'язків у натуральних числах.

Гіпотеза була сформульована у 1769 Леонардом Ейлером.

У 1966 Л. Ландер (L. J. Lander) і Т. Паркін (T. R. Parkin) знайшли перший контрприклад до гіпотези Ейлера:

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵.

У 1988 Ноам Елкіс (Noam Elkies) знайшов контрприклад для випадку ${\displaystyle n=4}$:

2682440⁴ + 15365639⁴ + 18796760⁴ = 20615673⁴.

Пізніше Роджер Фрай (Roger Frye) знайшов найменший контрприклад для ${\displaystyle n=4}$:

95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴