Двовимірні многовиди

Оскільки в двовимірному випадку антисиметрична пара індексів ${\displaystyle (ij)}$ може тільки одну (з точністю до знаку) комбінацію ${\displaystyle (12)=-(21)}$, то тензор Рімана ${\displaystyle R_{ijkl}}$ з двома антисиметричними парами індексів має лише одну ненульову компоненту:

${\displaystyle (1)\qquad R_{1212}=-R_{2112}=R_{2121}=-R_{1221}}$

легко перевірити, що алгебраїчна та диференціальна тотожності Біанкі не накладають на цю компненту ніяких обмежень. Дійсно, алгебраїчна тотожність з циклічною перестановкою перших трьох індексів:

${\displaystyle (2)\qquad R_{1212}+R_{2112}+R_{1112}=0}$

задовольняється, оскільки другий протилежний першому (внаслідок антисиметрії ${\displaystyle R_{ijkl}}$ по першій парі індексів), а третій доданок дорівнює нулю. Те саме зауваження стосується і диференціальної тотожності Біанкі:

${\displaystyle (3)\qquad \nabla _{1}R_{12ps}+\nabla _{1}R_{21ps}+\nabla _{2}R_{11ps}=0}$

В цій формулі друга пара індексів ${\displaystyle (ps)}$ теж дорівнює ${\displaystyle (12)}$, але ми таку підстановку навмисне не зробили, щоб підкреслити, що ця пара індексів не бере участі в циклічній перестановці.

Оскільки наведені вище міркування стосуються також тензора метричної матрьошки:

${\displaystyle (4)\qquad g_{ijkl}={\begin{vmatrix}g_{ik}&g_{il}\\g_{jk}&g_{jl}\end{vmatrix}}=g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk}}$

То тензор Рімана будь-якого двовимірного багатовида виявляється пропорційним тензору метричної матрьошки:

${\displaystyle (5)\qquad R_{ijkl}=\lambda \,g_{ij,kl}}$

Цікаво, що у вищих розмірностях формула (5) може бути справедливою лише для просторів постійної кривини. Дійсно, нехай буквою ${\displaystyle n}$ позначено розмірність багатовида. Тоді послідовними згортками із формули (5) знаходимо тензор Річчі і скалярну кривину:

${\displaystyle (6)\qquad R_{ik}=\lambda \,g^{jl}(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})=(n-1)\lambda \,g_{ik}}$

${\displaystyle (7)\qquad R=g^{ij}R_{ij}=n(n-1)\lambda }$

Ці два вирази ми можемо підставити в згорнуту диференціальну тотжність Біанкі:

${\displaystyle (8)\qquad 2\nabla ^{j}R_{ij}=\nabla _{i}R}$

${\displaystyle (8a)\qquad 2(n-1)\nabla _{i}\lambda =n(n-1)\nabla _{i}\lambda }$

${\displaystyle (8b)\qquad (n-2)(n-1)\nabla _{i}\lambda =0}$

При ${\displaystyle n>2}$ перші два множника в формулі (8b) ненульові, а тому:

${\displaystyle (9)\qquad \nabla _{i}\lambda ={\partial \lambda \over \partial u^{i}}=0;\qquad \lambda ={\mbox{const}}}$

тобто коефіцієнт ${\displaystyle \lambda }$ однаковий для всього багатовида з розмірністю більшою двох.

Для двовимірних багатовидів (${\displaystyle n=2}$) формула (8b) перетворюється на тотожний нуль, тому коефіцієнт ${\displaystyle \lambda }$ може змінюватися. Із формули (7) знаходимо, що ${\displaystyle \lambda }$ дорівнює Ґаусовій кривині другого степеня:

${\displaystyle (10)\qquad \lambda ={R \over n(n-1)}={R \over 2}=K^{[2]}=K}$

Маємо такі формули для двовимірного багатовида:

${\displaystyle (11)\qquad R_{ijkl}=K\,g_{ij,kl}}$

${\displaystyle (12)\qquad R_{ij}=K\,g_{ij}}$

${\displaystyle (13)\qquad R=2K}$

В вудь-якому двовимірному багатовиді можна вибрати (локально звичайно з огляду на топологію, в околі будь-якої точки) таку систему координат, що метричний тензор ${\displaystyle g_{ij}}$ буде пропорційним одиничній матриці:

${\displaystyle (14)\qquad g_{ij}=a\delta _{ij}={\begin{bmatrix}a&0\\0&a\end{bmatrix}}}$

Такі координати називаються ізотермічними. Квадрат елемента відстані дорівнює:

${\displaystyle (15)\qquad ds^{2}=a((u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}))}$

Для будь-якого гладкого замкнутого контуру ${\displaystyle L}$ на двовимірному багатовиді і обмеженої цим контуром області ${\displaystyle \Omega }$ справедлива наступна формула:

${\displaystyle (16)\qquad \oint _{L}k_{g}dl+\int _{\Omega }Kds=2\pi \chi (\Omega )}$

де перший інтеграл береться від геодезичної кривини контуру ${\displaystyle L}$, другий інтеграл береться від Ґаусової кривини, а ${\displaystyle \chi =\chi (\Omega )}$ є цілим числом - характеристикою Ейлера для області ${\displaystyle \Omega }$. Докладніше ця теорема описана в статті Теорема Ґауса-Бонне.