Двоїста категорія

Двоїста категорія або дуальна категорія, до категорії ${\displaystyle C}$ — категорія ${\displaystyle C^{\circ }}$ з тими ж об’єктами, що і ${\displaystyle C}$ і з множинами морфізмів ${\displaystyle Hom^{\circ }(A,B)=Hom(B,A)}$ («звертання стрілок»). Композиція морфізмів у ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ у категорії ${\displaystyle C^{\circ }}$ визначається як композиція ${\displaystyle g}$ і ${\displaystyle f}$ у ${\displaystyle C}$. Поняття і твердження стосовно категорії ${\displaystyle C}$ замінються двоїстими поняттями и і твердженнями у ${\displaystyle C^{\circ }}$.

Так, поняття епіморфізма двоїсте поняттю мономорфізма, поняття проективного об’єкта — поняттю ін’єктивного об’єкта, прямий добуток — прямій сумі і т. д. Контраваріантний функтор на C стає коваріантним на ${\displaystyle C^{\circ }}$.

Іноді двоїста категорія має безпосередню реалізацію: так, категорія дискретних абелевих груп еквівалентна двоїстій категорії до категорії компактних абелевих груп (двоїстість Понтрягіна), а категорія афінних схем еквівалентна двоїстій категорії до категорії комутативних кілець з одиницею.