Кільце (алгебра)

Кільце ${\displaystyle \ R}$ — це множина з двома бінарними операціями, що звичайно позначаються «${\displaystyle +}$» та «${\displaystyle \cdot }$» і називаються додаванням та множенням, яка задовільняє наступній системі аксіом:

• ${\displaystyle (R,+)}$ є комутативною групою. Її називають адитивною групою кільця і нейтральний елемент в ній позначають як ${\displaystyle 0}$ (нуль);
• ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$ (дистрибутивність додавання щодо множення);
• ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}$ (асоціативність множення);
• в ${\displaystyle (R,\cdot )}$ існує нейтральний елемент ${\displaystyle 1}$ (одиниця), що задовільняє: ${\displaystyle a\cdot 1=1\cdot a=a.}$

Деякі автори не вимагають наявності одиниці, і натомість називають кільця з одиницею унітарними кільцями або кільцями з одиницею.

Розглядаються також кільця, у яких не задовільняється асоціативність множення, наприклад, кільця (або алгебри) Лі. У такому разі, кільця, в яких множення асоціативне, називають асоціативними кільцями.

Надалі в цій статті вважатимемо, що наявність мультиплікативної одиниці та асоціативність множення входять до означення кільця.

Кільця, що задовольняють на вимогу комутативності множення ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a,}$ називають комутативними кільцями. Не всі кільця є комутативними, наприклад, кільце матриць чи кватерніонів.

Символ ${\displaystyle \cdot }$ зазвичай не пишуть, використовуючи стандартні правила порядку операцій, тому, наприклад, ${\displaystyle a+bc}$ є скороченим записом ${\displaystyle a+b\cdot c}$.

Якщо для двох елементів кільця ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$ виконується рівність ${\displaystyle ab=ba=1,}$ то кажуть, що ${\displaystyle b}$ є оберненим елементом до ${\displaystyle a}$ відносно множення. В цьому випадку елемент ${\displaystyle b}$ однозначно визначається елементом ${\displaystyle a}$ і позначається ${\displaystyle b=a^{-1}}$ (звичайно, маємо також, що ${\displaystyle a=b^{-1}}$).

Якщо в кільці немає дільників нуля, відмінних від самого нуля, тобто якщо з ${\displaystyle ab=0}$ витікає, що або ${\displaystyle a=0}$, або ${\displaystyle b=0}$, то кажуть про кільце без дільників нуля. Якщо до того ж кільце є комутативним, то його називають цілісним.

• Цілі числа ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ із звичайними додаванням і множенням утворюють комутативне кільце.

• Якщо ${\displaystyle n}$ — будь-яке натуральне число, то множина ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ залишків (${\displaystyle \operatorname {mod} n}$) утворює комутативне кільце залишків з ${\displaystyle n}$ елементів. Якщо ${\displaystyle n=p}$ — просте число, то ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ є полем.

• Раціональні, дійсні та комплексні числа є полями, тобто комутативними кільцями, у яких для кожного ненульового елемента існує обернений елемент.

• Поліноми однієї змінної ${\displaystyle x}$ із цілими коефіцієнтами утворюють комутативне кільце, що позначається ${\displaystyle \mathbb {Z} [x].}$ Додавання та множення поліномів — почленні, тобто

${\displaystyle (a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{0})+(b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\ldots +b_{0})=(a_{n}+b_{n})x^{n}+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+\ldots +(a_{0}+b_{0}),}$

${\displaystyle (a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{0})\cdot (b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots +b_{0})=a_{n}b_{m}x^{n+m}+(a_{n}b_{m-1}+a_{n-1}b_{m})x^{n+m-1}+\ldots +a_{0}b_{0}.}$

Комутативне кільце утворюють поліноми однієї змінної з раціональними, дійсними або комплексними коефіцієнтами.

• Для будь-якого натурального ${\displaystyle N}$, множина всіх ${\displaystyle N\times N}$ матриць із цілими елементами утворює кільце, яке позначається ${\displaystyle M_{N}(\mathbb {Z} ).\ }$ Це кільце — некомутативне, якщо ${\displaystyle N\geqslant 2.}$

• Кватерніони — некомутативне кільце. На відміну від кільця матриць, будь-який ненульовий кватерніон має обернений.

• Групова алгебра ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ довільної групи ${\displaystyle G}$ — це надзвичайно важливе кільце, за допомогою якого вдається звести чимало питань стосовно груп та, напередусім, їх зображень, до відповідних питань про кільця. Кільце ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ — комутативне тоді, і тільки тоді, коли ${\displaystyle G}$ — комутативна група.

• якщо кільце містить більше одного елемента, то ${\displaystyle 0\neq 1}$;
• ${\displaystyle 0\cdot a=a\cdot 0=0}$;
• ${\displaystyle (-1)\cdot a=-a}$;
• ${\displaystyle (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1},}$ якщо ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ обидва мають обернені елементи. Отже множина всіх оборотних елементів кільця є замкненою відносно множення, і тому утворює групу, що позначається ${\displaystyle R^{\times }}$.

Наприклад, ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\times }=\{1,-1\}\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ — циклічна група порядка ${\displaystyle 2.}$

Непорожня підмножина ${\displaystyle I}$ кільця ${\displaystyle R}$ називається правим ідеалом, якщо:

• з ${\displaystyle a,b\in I}$ витікає ${\displaystyle a-b\in I}$;
• з ${\displaystyle a\in I}$ витікає ${\displaystyle ar\in I}$ для будь-якого ${\displaystyle r\in R}$. Інакше кажучи, ідеал містить усі праві кратні ${\displaystyle ar}$.

Ліві ідеали визначаються схожим чином, з заміною правих кратних на ліві кратні ${\displaystyle ra}$.
Нарешті, двосторонній ідеал — це така підмножина, що вона одночасно є лівим та правим ідеалом.
Для комутативних кілець усі три поняття збігаються, тож говорять просто про ідеал.

Приклади ідеалів в комутативних кільцях:

• Нульовий ідеал, що містить лише нуль;
• Одиничний ідеал, що містить усі елементи кільця;
• Ідеал ${\displaystyle (a)}$, породжений елементом ${\displaystyle a}$, що складається з усіх його кратних елементів ${\displaystyle ra}$, де ${\displaystyle r\in R}$.

${\displaystyle (a)}$ — найменший серед ідеалів, які містять елемент ${\displaystyle a}$. Його можна також визначити як перетин усіх ідеалів, що містять елемент ${\displaystyle a}$. Наприклад, ідеал ${\displaystyle (2)}$ у кільці цілих чисел складається з усіх парних чисел. Схожим чином можна побудувати ідеал ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$, породжений кількома елементами ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$, як сукупність сум вигляду ${\displaystyle \sum {r_{i}a_{i}}}$, де ${\displaystyle r_{i}\in R}$, або як перетин усіх ідеалів кільця ${\displaystyle R}$, які містять елементи ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$. У цьому випадку кажуть, що елементи ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ складають базис цього ідеалу.

Головний ідеал — це ідеал, породжений одним елементом. Нульовий та одиничний ідеали завжди головні, бо вони породжені нульовим та одиничним елементами кільця, відповідно.

Поняття ідеалу узагальнює множину кратних деякого числа у кільці цілих чисел. Перетин двох ідеалів відповідає найменшому спільному кратному двох чисел, сума ідеалів (множина всіляких сум їхніх елементів) — найбільшому спільному дільникові.

Множина простих ідеалів кільця ${\displaystyle A}$ називається спектром кільця й позначається ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,A.}$ Прості ідеали називаються точками спектру. Наприклад, ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,\mathbb {Z} }$ складається із простих ідеалів (2), (3), (5), (7), (11), ... й нульового ідеалу. Або нехай ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$ - локальне кільце точки ${\displaystyle x}$ на незвідній алгебричній кривій. ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,{\mathcal {O}}_{x}}$ складається з двох точок - максимального й нульового ідеалу.

Розгляньмо гомоморфізм кілець ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow B,}$ який переводить одиницю одного кільця у одиницю іншого. Для будь-якого простого ідеалу кільця ${\displaystyle B}$ його прообраз це простий ідеал ${\displaystyle A}$. Зіставлення будь-якому простому ідеалу його прообраз визначає відображення ${\displaystyle {}^{a}\varphi$ :\mathrm {Spec} \,B\rightarrow \mathrm {Spec} A,} яке називається асоційованим із гомоморфізмом ${\displaystyle \varphi .}$ Наприклад, спектр кільця гаусових чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} [i],\,\,i^{2}-1,}$ представляється за допомогою імерсії ${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} [i],} яка визначає відображення ${\displaystyle {}^{a}\varphi$ :\mathrm {Spec} \,\mathbb {Z} [i]\rightarrow \mathrm {Spec} \,\mathbb {Z} .}

Нехай ${\displaystyle \omega }$ та ${\displaystyle \omega '}$ це точки ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,\mathbb {Z} }$ та ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,\mathbb {Z} [i],}$ які відповідають нульовим ідеалам. Таким чином, ${\displaystyle (\varphi )^{-1}\omega =\omega '.}$ Інші точки відповідають простим числам.

${\displaystyle (\varphi )^{-1}(p)}$ складається з простих ідеалів кільця ${\displaystyle \mathbb {Z} [i],}$ які ділять ${\displaystyle p.}$ Усі такі ідеали є головними ідеалами (їх 2), якщо ${\displaystyle p=1(\mod 4),}$ та один, якщо ${\displaystyle p=2\lor p=3(\mod 4).}$

Евклідове кільце — це цілісне кільце, в якому для кожного елемента ${\displaystyle a\neq 0}$ визначено число ${\displaystyle g(a)\geq 0}$ з такими властивостями:

• Для будь-яких елементів кільця ${\displaystyle ab\neq 0}$, ${\displaystyle b\neq 0}$ справедливо ${\displaystyle g(ab)\geq g(a)}$.
• Якщо елемент ${\displaystyle a\neq 0}$, то будь-який елемент ${\displaystyle b}$ можна представити у вигляді

${\displaystyle b=aq+r}$,

де або ${\displaystyle r=0}$, або ${\displaystyle g(r)<g(a)}$.
Другий пункт у визначенні евклідового кільця узагальнює ділення з остачею в кільцях цілих чисел та многочленів. Для цілих чисел ${\displaystyle g(a)=|a|}$ (абсолютна величина), для многочленів ${\displaystyle g(a)=\deg(a)}$ (степінь многочлена). Кільця названі на честь Евкліда, який запропонував алгоритм знаходження найбільшого спільного дільника двох цілих чисел, відомий як алгоритм Евкліда. Цей алгоритм з незначними змінами можна застосувати до будь-яких евклідових кілець, що дозволяє довести наступну теорему.

Теорема. В евклідовому кільці кожен ідеал є головним.

Цілісне кільце, в якому кожен ідеал є головним, називається кільцем головних ідеалів. Таким чином, кожне евклідове кільце є кільцем головних ідеалів.

• Якщо підмножина ${\displaystyle S}$ кільця ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ разом з операціями «${\displaystyle +}$» та «${\displaystyle \cdot }$», обмеженими ${\displaystyle S}$, сама є кільцем, і нейтральний елемент ${\displaystyle 1\in R}$ міститься в ${\displaystyle S}$, тоді ${\displaystyle S}$ називають підкільцем кільця ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$.
• Центром кільця ${\displaystyle R}$ називають множину елементів ${\displaystyle R}$, що комутують з кожним елементом з ${\displaystyle R}$; таким чином, ${\displaystyle c}$ знаходиться в центрі кільця, якщо ${\displaystyle cr=rc}$ для кожного ${\displaystyle r\in R}$. Центр є підкільцем кільця ${\displaystyle R}$. Кажемо, що підкільце ${\displaystyle S}$ кільця ${\displaystyle R}$ є центральним, якщо воно є підкільцем центра кільця ${\displaystyle R}$.
• Прямою сумою двох кілець ${\displaystyle R}$ і ${\displaystyle S}$ називаємо Декартів добуток ${\displaystyle R\times S}$ разом з операціями

${\displaystyle (r_{1},s_{1})+(r_{2},s_{2})=(r_{1}+r_{2},s_{1}+s_{2})}$ та

${\displaystyle (r_{1},s_{1})\cdot (r_{2},s_{2})=(r_{1}\cdot r_{2},s_{1}\cdot s_{2})}$.

• Якщо дано кільце ${\displaystyle R}$ та ідеал ${\displaystyle I}$ кільця ${\displaystyle R}$, кільце відношень (або фактор-кільце) ${\displaystyle R/I}$ є множиною суміжних класів ${\displaystyle I}$ разом з операціями

${\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}$ та

${\displaystyle (a+I)\cdot (b+I)=(a\cdot b)+I}$.

• Оскільки будь-яке кільце є одночасно лівим та правим модулем над собою, можна сконструювати тензорний добуток ${\displaystyle R}$ над кільцем ${\displaystyle S}$ з іншим кільцем ${\displaystyle T}$ і отримати інше кільце, якщо ${\displaystyle S}$ є центральним підкільцем ${\displaystyle R}$ та ${\displaystyle T}$.
• До будь-якого кільця ${\displaystyle R}$, можна приєднати змінну ${\displaystyle x}$ і отримати ${\displaystyle R[x]}$ — кільце многочленів над ${\displaystyle R}$. Послідовно приєднуючі знінні, можна отримати ${\displaystyle R[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]}$ — кільце многочленів від ${\displaystyle n}$ змінних над кільцем ${\displaystyle R}$.

• Напівкільце
• Поле (алгебра)
• Банахова алгебра

• Бурбаки Н. Алгебра. Часть 3. Модули, кольца, формы. — Москва : Наука, 1966. — С. 555.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Бондаренко Є.В. (2012). Теорiя кiлець: навчальний посiбник.. Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)