Пряма сума

Якщо R є кільцем, та ${\displaystyle \{M_{i}:\;i\in I\}}$ є сімейством лівих(правих) R-модулів, індексованих множиною I.

То прямою сумою модулів {M_i} є множина послідовностей ${\displaystyle \ (\alpha _{i}),}$ де ${\displaystyle \alpha _{i}\in M_{i}}$ та ${\displaystyle \ \alpha _{i}\neq 0}$ для скінченної кількості індексів i. (Прямий добуток визначається аналогічно, але не вимагається скінченна кількість ненульових індексів.)

Пряма сума модулів зберігає структуру лівого (правого) модуля за допомогою покомпонентного додавання і множення на скаляр із кільця R.

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}.}$

• Пряма сума модулів M_i є підмодулем прямого добутку модулів M_i. Якщо множина I є скінченною, то поняття прямої суми та прямого добутку збігаються.
• Кожен з модулів M_i є підмодулем прямої суми. Тому довільний елемент прямої суми може бути єдиним чином представленим у вигляді суми елементів із M_i.
• Довільний векторний простір над полем K ізоморфний прямій сумі достатньої кількості копій K.

Якщо модулі мають додаткову структуру (норму чи скалярний добуток), то пряма сума теж матиме цю додаткову структуру, якщо ввести норму чи скалярний добуток як суму покомпонентних норм чи скалярних добутків.