Динамічне моделювання

Моделювання динамічних систем — це моделювання поведінки динамічної системи в будь-який довільний змінний момент часу.[1][2] Модель, як правило, описується системою звичайних диференціальних рівнянь, аргументом яких є час. Така система відображає реальний об'єкт лише з деяким наближенням, яке може бути задовільним або незадовільним для певного дослідження.[3][4][5]Тривіальним прикладом об'єкта, описаного за допомогою диференціальних рівнянь, може бути басейн, який заповнюється водою з труб.[6]
Також при моделюванні динамічних систем використовують різницеві рівняння й системи рівнянь у випадку, коли зміна процесу відбувається стрибкоподібно, або дискретно. Такі динамічні процеси зустрічаються в онкології, динаміці популяцій, економіці, банківській справі.[7]
Процес створення математичної моделі динамічної системи містить три основні частини:

  • Емпірична;
  • Теоретична;
  • Математична.

В емпіричній частині зібрані дані, які були отримані зі спостережень та експериментів з ціллю дослідження об'єкта. Емпіричні закономірності та явища об'єднуються у теоретичній частині за допомогою розвитку основних концепцій. У математичній частині конструюються моделі для перевірки основних математичних концепцій. На цьому етапі відбувається процес обробки експериментальних даних, планування експериментів та спостережень.
Важлива перевага методів моделювання динамічних систем полягає в тому, що вони дозволяють різко скоротити обсяг і масштаби натурних експериментів.[7]

Еквівалентні перетворення динамічних систем

В задачах моделювання важливим пунктом є аналіз властивостей і специфіки чисельної реалізації. Часто ми отримуємо представлення моделі, виходячи з її фізичних властивостей. Таке подання не завжди є зручним для чисельних експериментів. В моделюванні динамічних систем використовуються методи еквівалетного перетворення, а саме: перетворення диференціального рівняння -го порядку до системи диференціальних рівнянь 1-го порядку, перетворення диференціальних моделей в інтегральні моделі, перетворення інтегральної моделі Вольтерра другого роду з ядром, що розділяється в диференціальну модель.
Методи еквівалентного перетворення диференціальних моделей в інтегральні моделі включають у себе:

  • метод перетворення з розщепленням;
  • метод послідовного інтегрування;
  • метод старшої похідної.[8]

Метод перетворення з розщепленням

Нехай подано звичайне диференціальне рівняння, що описує модель динамічного типу таким чином:

або в операторній формі

Для отримання ряду еквівалентних залежностей, що містять інтегральний оператор, застосовують прийом, що базується на різноманітних розщепленнях вихідного диференціального оператора. Дійсно, розщіплюючи оператор з використанням суми двох операторів отримуємо диференціальне рівняння

де Отже, отримаємо розв'язок
Розглянемо даний метод детальніше на прикладі рівняння, яке запишемо у вигляді:

Після заміни змінних отримаємо рівняння -го порядку:
,
де Коли ми перейдемо до еквівалентної системи диференціальних рівнянь і використаємо фундаментальний розв'язок стосовно канонічної системи диференціальних рівнянь, отримуємо рівняння з ядром експоненціального виду:

де
Матриця порядку матиме вигляд:


Врахуємо залежність . Тоді, легко бачити, що еквівалентне перетворення відбувається шляхом зміни значення [9]

Метод послідовного інтегрування

Нехай у методі перетворення з розщепленням зробимо заміну . Тоді розщеплення оператора зводиться до розв'язання вихідного рівняння відносно старшої похідної. При цьому, розв'язок рівняння полягає у послідовному -кратному інтегруванні, в результаті якого отримаємо інтегральне рівняння виду:

де

.[10]

Лінійні та нелінійні моделі динамічних систем

Лінійні динамічні системи зазвичай описують системами лінійних звичайних диференціальних рівнянь, рівнянь у частинних похідних і лінійними різницевими та інтегральними рівняннями. Для лінійних моделей точні розв'язки можна знайти в аналітичній формі. Більше того, в деяких випадках, нелінійні процеси апроксимують лінійними.
Нелінійні динамічні системи називаються хаотичними, якщо їхня поведінка є випадковою, попри те, що вона визначається детерміністичними законами.[11]

Опис хаотичних систем за допомогою вiдображень

Нехай  — нескiнченно мала вiдстань мiж двома точками у фазовому просторi, якi належать рiзним фазовим траєкторiям у момент часу ;  — вiдстань мiж цими точками у момент часу . Тодi, запишемо наступне:
,
де параметр називається показником Ляпунова. Якщо , тоді двi фазовi траєкторiї, що виходять з малого околу певної точки простору, з часом розходяться з експоненцiальною швидкістю. Iз спiввiдношення отримаємо формулу для розрахунку показника Ляпунова:
.
Цей показник є функцiєю початкової координати у загальному випадку.
Розгляд хаотичних динамiчних систем зручно почати з простих прикладiв одновимiрних дискретних вiдображень, якi мають вигляд:
.
Остаточний вигляд формули для розрахунку показника Ляпунова у випадку одновимiрного вiдображення, поданого вище, є таким: .[12]

Приклади

Складання рівнянь руху

Розглянемо сукупність n матеріальних точок. Як відомо, положення точки у просторі визначається її радіус-вектором . Щоб визначити положення системи n матеріальних точок у просторі, треба знати n радіус-векторів або 3n координат. Кількість незалежних величин, що визначають положення системи у просторі, називається кількістю степенів вільності системи. У загальному випадку це можуть бути й недекартові координати (полярні, сферичні тощо).
Наведемо приклад механічної системи з одним степенем вільності. Одним із загальних принципів, що дозволяє побудувати рівняння руху, тобто створити математичну модель функціонування динамічної системи, є принцип найменшої дії (Гамільтона). Згідно із ним кожна механічна система характеризується деякою визначеною функцією , де q — узагальнені координати,  — узагальнена швидкість, t — момент часу.[13]

Динаміка популяцій

Наведемо приклад популяції, яка є ізольованою. Популяцією є сукупність індивідів, що можуть давати потомство й піддаються впливу однакових внутрішніх і зовнішніх факторів. Припустимо, що ареал їх проживання обмежений. Основним припущенням, що використовується при побудові математичних моделей динаміки зміни чисельності популяцій, є балансове співвідношення між різними групами у структурі популяцій під впливом факторів різної природи.
Одним з найпростіших прикладів таких моделей є робота Томаса Мальтуса «Досвід закону про народонаселення» (1797). Автор вплинув на формування концепції Чарльза Дарвіна про розуміння природного відбору як рушійної сили еволюції. У цій роботі модель мала вигляд звичайного скалярного лінійного диференціального рівняння зі сталим коефіцієнтом , де  — чисельність популяції в момент t, k  — інтенсивність народжуваності (смертності). Розв'язок рівняння має вигляд:.[14]

Джерела

  1. Хусаінов Д. Я., Харченко І. І., Шатирко А. В. Математичне моделювання динамічних процесів // Введення в моделювання динамічних систем, — Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2010. — с. 13-14
  2. Святний В. А. Проблеми паралельного моделювання складних динамічних систем // Наукові роботи Донецького національного технічного університету. Серія: Інформатика, кібернетика і обчислювальна техніка. Донецьк: ДонНТУ, 1999. № 6. — c. 2
  3. Лазарєв Ю. Ф. Динамічні системи // Моделювання динамічних систем у Matlab. — Київ: НТУУ «КПІ», 2011. — 48 c.
  4. Верлань А. А. Адаптаційні методи та засоби математичного моделювання процесів функціонування комп'ютерно-інтегрованих систем (стосовно до силових енергетичних установок) // Національна академія наук України. Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г. Є. Пухова. — 2019. — с. 3
  5. Лазарєв Ю. Ф. Динамічні системи // Моделювання динамічних систем у Matlab. — Київ: НТУУ «КПІ», 2011. — 49 c.
  6. Хусаінов Д. Я., Харченко І. І., Шатирко А. В. Математичне моделювання динамічних процесів // Введення в моделювання динамічних систем, — Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2010. — с. 4
  7. Хусаінов Д. Я., Харченко І. І., Шатирко А. В. Математичне моделювання динамічних процесів // Введення в моделювання динамічних систем, — Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2010. — с. 5
  8. Верлань А. А. Адаптаційні методи та засоби математичного моделювання процесів функціонування комп'ютерно-інтегрованих систем (стосовно до силових енергетичних установок) // Національна академія наук України. Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г. Є. Пухова. — 2019. — с. 83
  9. Верлань А. А. Адаптаційні методи та засоби математичного моделювання процесів функціонування комп'ютерно-інтегрованих систем (стосовно до силових енергетичних установок) // Національна академія наук України. Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г. Є. Пухова. — 2019. — с. 84
  10. Верлань А. А. Адаптаційні методи та засоби математичного моделювання процесів функціонування комп'ютерно-інтегрованих систем (стосовно до силових енергетичних установок) // Національна академія наук України. Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г. Є. Пухова. — 2019. — с. 85
  11. Хусаінов Д. Я., Харченко І. І., Шатирко А. В. Математичне моделювання динамічних процесів // Введення в моделювання динамічних систем, — Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2010. — с. 16
  12. I. О. Князь, А. М. Вiтренко. Моделювання фiзичних систем // Комп'ютерне моделювання динамiчних систем. Суми: Сумський державний унiверситет, 2011.— 83-84 с.
  13. Хусаінов Д. Я., Харченко І. І., Шатирко А. В. Моделі руху матеріальної точки та системи точок // Введення в моделювання динамічних систем, — Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2010. — с. 17
  14. Хусаінов Д. Я., Харченко І. І., Шатирко А. В. Математичні моделі в динаміці популяцій // Введення в моделювання динамічних систем, — Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2010. — с. 76
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.